Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemblem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemblem 38652
Description: Lemma for cdlemb 38653. (Contributed by NM, 8-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemb.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemb.u 1 = (1.β€˜πΎ)
cdlemb.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cdlemb.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemblem.s < = (ltβ€˜πΎ)
cdlemblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemblem.v 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cdlemblem ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
Proof of Theorem cdlemblem
StepHypRef Expression
1 simp132 1309 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
2 simp111 1302 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp2l 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
4 simp12l 1286 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
52, 3, 43jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
6 simp2rr 1243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 < 𝑋)
7 cdlemb.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemblem.s . . . . . . 7 < = (ltβ€˜πΎ)
97, 8pltle 18282 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒 < 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ 𝑋))
105, 6, 9sylc 65 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ≀ 𝑋)
112hllatd 38222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
13 cdlemb.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1513, 14atbase 38147 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1713, 14atbase 38147 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
183, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
19 cdlemb.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2013, 7, 19latjle12 18399 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
2111, 16, 18, 4, 20syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
2221biimpd 228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
2310, 22mpan2d 692 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ 𝑋 β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
24 simp112 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2512, 24, 33jca 1128 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴))
26 simp3r2 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑒)
272, 25, 263jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒))
28 simp3r3 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒))
297, 19, 14hlatexch2 38255 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) β†’ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒)))
3027, 28, 29sylc 65 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒))
3113, 14atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
3224, 31syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
3313, 19latjcl 18388 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∈ 𝐡)
3411, 16, 18, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∈ 𝐡)
3513, 7lattr 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∧ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
3611, 32, 34, 4, 35syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∧ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
3730, 36mpand 693 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
3823, 37syld 47 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
391, 38mtod 197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑋)
40 simp2rl 1242 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 β‰  𝑉)
41 simp113 1304 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
42 simp3r1 1281 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑃)
437, 19, 14hlatexchb1 38252 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
442, 12, 41, 24, 42, 43syl131anc 1383 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4512, 3, 243jca 1128 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
462, 45, 423jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃))
477, 19, 14hlatexch1 38254 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
4846, 28, 47sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ π‘Ÿ))
49 breq2 5151 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5048, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5144, 50sylbid 239 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5251, 10jctird 527 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋)))
5313, 14atbase 38147 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5441, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5513, 19latjcl 18388 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
5611, 32, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
57 cdlemblem.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5813, 7, 57latlem12 18415 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
5911, 18, 56, 4, 58syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
60 cdlemblem.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)
6160breq2i 5155 . . . . . . 7 (𝑒 ≀ 𝑉 ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
6259, 61bitr4di 288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ 𝑒 ≀ 𝑉))
6352, 62sylibd 238 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 ≀ 𝑉))
64 hlatl 38218 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
652, 64syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
66 simp12r 1287 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
67 simp131 1308 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑋𝐢 1 )
68 cdlemb.u . . . . . . . . 9 1 = (1.β€˜πΎ)
69 cdlemb.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7013, 7, 19, 57, 68, 69, 141cvrat 38335 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐴)
712, 24, 41, 4, 66, 67, 1, 70syl133anc 1393 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐴)
7260, 71eqeltrid 2837 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
737, 14atcmp 38169 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ≀ 𝑉 ↔ 𝑒 = 𝑉))
7465, 3, 72, 73syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝑒 ≀ 𝑉 ↔ 𝑒 = 𝑉))
7563, 74sylibd 238 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 = 𝑉))
7675necon3ad 2953 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝑒 β‰  𝑉 β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
7740, 76mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
7839, 77jca 512 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257  joincjn 18260  meetcmee 18261  1.cp1 18373  Latclat 18380   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  cdlemb  38653
  Copyright terms: Public domain W3C validator