Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemblem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemblem 39322
Description: Lemma for cdlemb 39323. (Contributed by NM, 8-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemb.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemb.u 1 = (1.β€˜πΎ)
cdlemb.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cdlemb.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemblem.s < = (ltβ€˜πΎ)
cdlemblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemblem.v 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cdlemblem ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
Proof of Theorem cdlemblem
StepHypRef Expression
1 simp132 1306 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
2 simp111 1299 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
4 simp12l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
52, 3, 43jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
6 simp2rr 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 < 𝑋)
7 cdlemb.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemblem.s . . . . . . 7 < = (ltβ€˜πΎ)
97, 8pltle 18324 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒 < 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ 𝑋))
105, 6, 9sylc 65 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ≀ 𝑋)
112hllatd 38892 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simp3l 1198 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
13 cdlemb.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1513, 14atbase 38817 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1713, 14atbase 38817 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
183, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
19 cdlemb.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2013, 7, 19latjle12 18441 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
2111, 16, 18, 4, 20syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
2221biimpd 228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
2310, 22mpan2d 692 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ 𝑋 β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋))
24 simp112 1300 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2512, 24, 33jca 1125 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴))
26 simp3r2 1279 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑒)
272, 25, 263jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒))
28 simp3r3 1280 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒))
297, 19, 14hlatexch2 38925 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) β†’ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒)))
3027, 28, 29sylc 65 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒))
3113, 14atbase 38817 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
3224, 31syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
3313, 19latjcl 18430 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∈ 𝐡)
3411, 16, 18, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∈ 𝐡)
3513, 7lattr 18435 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∧ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
3611, 32, 34, 4, 35syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ∧ (π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
3730, 36mpand 693 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((π‘Ÿ ∨ 𝑒) ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
3823, 37syld 47 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
391, 38mtod 197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑋)
40 simp2rl 1239 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 β‰  𝑉)
41 simp113 1301 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
42 simp3r1 1278 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑃)
437, 19, 14hlatexchb1 38922 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
442, 12, 41, 24, 42, 43syl131anc 1380 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4512, 3, 243jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
462, 45, 423jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃))
477, 19, 14hlatexch1 38924 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
4846, 28, 47sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ π‘Ÿ))
49 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5048, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5144, 50sylbid 239 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5251, 10jctird 525 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋)))
5313, 14atbase 38817 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5441, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5513, 19latjcl 18430 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
5611, 32, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
57 cdlemblem.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5813, 7, 57latlem12 18457 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
5911, 18, 56, 4, 58syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
60 cdlemblem.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)
6160breq2i 5151 . . . . . . 7 (𝑒 ≀ 𝑉 ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
6259, 61bitr4di 288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) ↔ 𝑒 ≀ 𝑉))
6352, 62sylibd 238 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 ≀ 𝑉))
64 hlatl 38888 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
652, 64syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
66 simp12r 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
67 simp131 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑋𝐢 1 )
68 cdlemb.u . . . . . . . . 9 1 = (1.β€˜πΎ)
69 cdlemb.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7013, 7, 19, 57, 68, 69, 141cvrat 39005 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐴)
712, 24, 41, 4, 66, 67, 1, 70syl133anc 1390 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐴)
7260, 71eqeltrid 2829 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
737, 14atcmp 38839 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ≀ 𝑉 ↔ 𝑒 = 𝑉))
7465, 3, 72, 73syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝑒 ≀ 𝑉 ↔ 𝑒 = 𝑉))
7563, 74sylibd 238 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑒 = 𝑉))
7675necon3ad 2943 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (𝑒 β‰  𝑉 β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
7740, 76mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
7839, 77jca 510 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑋𝐢 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 β‰  𝑉 ∧ 𝑒 < 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑒 ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑒)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  ltcplt 18299  joincjn 18302  meetcmee 18303  1.cp1 18415  Latclat 18422   β‹– ccvr 38790  Atomscatm 38791  AtLatcal 38792  HLchlt 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879
This theorem is referenced by:  cdlemb  39323
  Copyright terms: Public domain W3C validator