Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwinfi 42865
Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwinfi (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin))

Proof of Theorem pwinfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vuniex 7723 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 vpwex 5366 . . . 4 𝒫 𝑥 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . 3 ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V)
43rgenw 3057 . 2 𝑥 ∈ V ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V)
5 pwinfig 42862 . 2 (∀𝑥 ∈ V ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin)))
64, 5ax-mp 5 1 (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2098  wral 3053  Vcvv 3466  cdif 3938  𝒫 cpw 4595   cuni 4900  Fincfn 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-fin 8940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator