Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwinfi 38369
Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwinfi (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin))

Proof of Theorem pwinfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vuniex 7184 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 vpwex 5047 . . . 4 𝒫 𝑥 ∈ V
31, 2pm3.2i 458 . . 3 ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V)
43rgenw 3112 . 2 𝑥 ∈ V ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V)
5 pwinfig 38366 . 2 (∀𝑥 ∈ V ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin)))
64, 5ax-mp 5 1 (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wcel 2156  wral 3096  Vcvv 3391  cdif 3766  𝒫 cpw 4351   cuni 4630  Fincfn 8192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator