Theorem pwinfi 42315

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwinfi	⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin))

Proof of Theorem pwinfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vuniex 7729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
2		vpwex 5376	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V)
4	3	rgenw 3066	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ V (∪ 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V)
5		pwinfig 42312	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (∪ 𝑥 ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin)))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (V ∖ Fin))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4909  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by: (None)