Theorem r19.29uz 15274

Description: A version of 19.29 1874 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
4		pm3.2 469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6	3, 5	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	6	ralimdv2 3145	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	7	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
9		ralim 3076	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
11	10	reximdva 3149	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
12	11	imp 406	1 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ‘cfv 6492  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  caubnd  15282  caucvgb  15603  cvgcmp  15739  ulmcau  26360