MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.29uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r19.29uz 14377
Description: A version of 19.29 1972 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.29uz ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz
StepHypRef Expression
1 rexuz3.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 11904 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32ex 401 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
4 pm3.2 461 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓)))
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓))))
63, 5imim12d 81 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝜓 → (𝜑𝜓)))))
76ralimdv2 3108 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓))))
87impcom 396 . . . 4 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)))
9 ralim 3095 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
108, 9syl 17 . . 3 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1110reximdva 3163 . 2 (∀𝑘𝑍 𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1211imp 395 1 ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cfv 6068  cuz 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-neg 10523  df-z 11625  df-uz 11887
This theorem is referenced by:  caubnd  14385  caucvgb  14697  cvgcmp  14834  ulmcau  24440
  Copyright terms: Public domain W3C validator