Theorem r19.29uz 15062

Description: A version of 19.29 1876 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
4		pm3.2 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6	3, 5	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	6	ralimdv2 3107	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	7	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
9		ralim 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
11	10	reximdva 3203	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
12	11	imp 407	1 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ‘cfv 6433  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  caubnd  15070  caucvgb  15391  cvgcmp  15528  ulmcau  25554