Theorem r19.29uz 15439

Description: A version of 19.29 1906 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
4		pm3.2 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6	3, 5	imim12d 82	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	6	ralimdv2 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	7	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
9		ralim 3102	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
11	10	reximdva 3175	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
12	11	imp 412	1 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ‘cfv 6533  ℤ_≥cuz 12888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-neg 11469  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  caubnd  15447  caucvgb  15768  cvgcmp  15904  ulmcau  26632