Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.29uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r19.29uz 14722
 Description: A version of 19.29 1874 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.29uz ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz
StepHypRef Expression
1 rexuz3.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 12270 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32ex 416 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
4 pm3.2 473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓)))
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓))))
63, 5imim12d 81 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝜓 → (𝜑𝜓)))))
76ralimdv2 3143 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓))))
87impcom 411 . . . 4 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)))
9 ralim 3130 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
108, 9syl 17 . . 3 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1110reximdva 3234 . 2 (∀𝑘𝑍 𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1211imp 410 1 ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ‘cfv 6332  ℤ≥cuz 12251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-neg 10880  df-z 11990  df-uz 12252 This theorem is referenced by:  caubnd  14730  caucvgb  15048  cvgcmp  15183  ulmcau  25034
 Copyright terms: Public domain W3C validator