Theorem r19.2uz 14991

Description: A version of r19.2z 4422 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2		uzid 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
3		ne0i 4265	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
5		rexuz3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
7		r19.2z 4422	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
8	6, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
9	5	uztrn2 12530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	anim1d 610	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	reximdv2 3198	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
14	8, 13	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
15	14	rexlimiva 3209	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  lmcls  22361  1stccnp  22521  iscmet3lem1  24360  iscmet3lem2  24361  uniioombllem6  24657  ulmcau  25459  ulmbdd  25462  ulmcn  25463  ulmdvlem3  25466  iblulm  25471