MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r19.2uz 15356
Description: A version of r19.2z 4499 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.2uz (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12884 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2 uzid 12889 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3 ne0i 4337 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
5 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleq2s 2844 . . . 4 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
7 r19.2z 4499 . . . 4 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
86, 7sylan 578 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
95uztrn2 12893 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
109ex 411 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
1110anim1d 609 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘𝑍𝜑)))
1211reximdv2 3154 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑))
1312imp 405 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
148, 13syldan 589 . 2 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
1514rexlimiva 3137 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  c0 4325  cfv 6554  cz 12610  cuz 12874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-neg 11497  df-z 12611  df-uz 12875
This theorem is referenced by:  lmcls  23297  1stccnp  23457  iscmet3lem1  25310  iscmet3lem2  25311  uniioombllem6  25608  ulmcau  26424  ulmbdd  26427  ulmcn  26428  ulmdvlem3  26431  iblulm  26436
  Copyright terms: Public domain W3C validator