MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r19.2uz 15391
Description: A version of r19.2z 4494 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.2uz (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12889 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2 uzid 12894 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3 ne0i 4340 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
5 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleq2s 2858 . . . 4 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
7 r19.2z 4494 . . . 4 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
86, 7sylan 580 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
95uztrn2 12898 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
109ex 412 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
1110anim1d 611 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘𝑍𝜑)))
1211reximdv2 3163 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑))
1312imp 406 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
148, 13syldan 591 . 2 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
1514rexlimiva 3146 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  c0 4332  cfv 6560  cz 12615  cuz 12879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880
This theorem is referenced by:  lmcls  23311  1stccnp  23471  iscmet3lem1  25326  iscmet3lem2  25327  uniioombllem6  25624  ulmcau  26439  ulmbdd  26442  ulmcn  26443  ulmdvlem3  26446  iblulm  26451
  Copyright terms: Public domain W3C validator