MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r19.2uz 14701
Description: A version of r19.2z 4443 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.2uz (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12242 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2 uzid 12247 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3 ne0i 4304 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
5 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleq2s 2936 . . . 4 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
7 r19.2z 4443 . . . 4 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
86, 7sylan 580 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
95uztrn2 12251 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
109ex 413 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
1110anim1d 610 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘𝑍𝜑)))
1211reximdv2 3276 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑))
1312imp 407 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
148, 13syldan 591 . 2 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
1514rexlimiva 3286 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  c0 4295  cfv 6352  cz 11970  cuz 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233
This theorem is referenced by:  lmcls  21826  1stccnp  21986  iscmet3lem1  23809  iscmet3lem2  23810  uniioombllem6  24104  ulmcau  24898  ulmbdd  24901  ulmcn  24902  ulmdvlem3  24905  iblulm  24910
  Copyright terms: Public domain W3C validator