Theorem r19.2uz 15387

Description: A version of r19.2z 4501 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12886	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2		uzid 12891	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
3		ne0i 4347	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
5		rexuz3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
7		r19.2z 4501	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
8	6, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
9	5	uztrn2 12895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	reximdv2 3162	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
14	8, 13	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
15	14	rexlimiva 3145	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  lmcls  23326  1stccnp  23486  iscmet3lem1  25339  iscmet3lem2  25340  uniioombllem6  25637  ulmcau  26453  ulmbdd  26456  ulmcn  26457  ulmdvlem3  26460  iblulm  26465