Theorem r19.2uz 14703

Description: A version of r19.2z 4398 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12241	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2		uzid 12246	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
3		ne0i 4250	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
5		rexuz3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleq2s 2908	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
7		r19.2z 4398	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
8	6, 7	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
9	5	uztrn2 12250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	anim1d 613	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	reximdv2 3230	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑))
13	12	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
14	8, 13	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
15	14	rexlimiva 3240	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∅c0 4243  ‘cfv 6324  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  lmcls  21907  1stccnp  22067  iscmet3lem1  23895  iscmet3lem2  23896  uniioombllem6  24192  ulmcau  24990  ulmbdd  24993  ulmcn  24994  ulmdvlem3  24997  iblulm  25002