Theorem rexanuz2 15292

Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexanuz2	⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝜓,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12774	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		rexuz3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ))
5	4	rexlimiv 3127	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	3	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ))
7	6	rexlimiv 3127	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	2	rexuz3 15291	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
10		rexanuz 15288	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
11	2	rexuz3 15291	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
12	2	rexuz3 15291	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)))
14	10, 13	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)))
15	9, 14	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)))
16	5, 8, 15	pm5.21nii 378	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ‘cfv 6499  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  climuni  15494  2clim  15514  climcn2  15535  lmmo  23243  txlm  23511  cmetcaulem  25164  iscmet3lem2  25168  ulmdvlem3  26287  rexanuz3  45063  fnlimabslt  45650  liminflimsupclim  45778  liminflimsupxrre  45788  stoweidlem7  45978  smflimlem3  46744