MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz2 15292
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexanuz2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝜓,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12823 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2843 . . . 4 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
43a1d 25 . . 3 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ))
54rexlimiv 3140 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
63a1d 25 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ))
76rexlimiv 3140 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 480 . 2 ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
92rexuz3 15291 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
10 rexanuz 15288 . . . 4 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
112rexuz3 15291 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
122rexuz3 15291 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
1311, 12anbi12d 630 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
1410, 13bitr4id 290 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
159, 14bitrd 279 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
165, 8, 15pm5.21nii 378 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  cfv 6533  cz 12554  cuz 12818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819
This theorem is referenced by:  climuni  15492  2clim  15512  climcn2  15533  lmmo  23205  txlm  23473  cmetcaulem  25137  iscmet3lem2  25141  ulmdvlem3  26254  rexanuz3  44239  fnlimabslt  44846  liminflimsupclim  44974  liminflimsupxrre  44984  stoweidlem7  45174  smflimlem3  45940
  Copyright terms: Public domain W3C validator