Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz2 14750
 Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexanuz2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝜓,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12280 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2871 . . . 4 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
43a1d 25 . . 3 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ))
54rexlimiv 3205 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
63a1d 25 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ))
76rexlimiv 3205 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 485 . 2 ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
92rexuz3 14749 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
10 rexanuz 14746 . . . 4 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
112rexuz3 14749 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
122rexuz3 14749 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
1311, 12anbi12d 634 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
1410, 13bitr4id 294 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
159, 14bitrd 282 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
165, 8, 15pm5.21nii 384 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  ‘cfv 6336  ℤcz 12013  ℤ≥cuz 12275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-neg 10904  df-z 12014  df-uz 12276 This theorem is referenced by:  climuni  14950  2clim  14970  climcn2  14990  lmmo  22073  txlm  22341  cmetcaulem  23981  iscmet3lem2  23985  ulmdvlem3  25089  rexanuz3  42098  fnlimabslt  42680  liminflimsupclim  42808  liminflimsupxrre  42818  stoweidlem7  43008  smflimlem3  43765
 Copyright terms: Public domain W3C validator