MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz2 15188
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexanuz2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝜓,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12726 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2856 . . . 4 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
43a1d 25 . . 3 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ))
54rexlimiv 3143 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
63a1d 25 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ))
76rexlimiv 3143 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 481 . 2 ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
92rexuz3 15187 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
10 rexanuz 15184 . . . 4 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
112rexuz3 15187 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
122rexuz3 15187 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
1311, 12anbi12d 631 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
1410, 13bitr4id 289 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
159, 14bitrd 278 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
165, 8, 15pm5.21nii 379 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  cfv 6493  cz 12457  cuz 12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-neg 11346  df-z 12458  df-uz 12722
This theorem is referenced by:  climuni  15388  2clim  15408  climcn2  15429  lmmo  22677  txlm  22945  cmetcaulem  24598  iscmet3lem2  24602  ulmdvlem3  25707  rexanuz3  43211  fnlimabslt  43815  liminflimsupclim  43943  liminflimsupxrre  43953  stoweidlem7  44143  smflimlem3  44909
  Copyright terms: Public domain W3C validator