MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgb 15716
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caucvgb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5910 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 5144 . . . . 5 (𝐹𝑚 ↔ ⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 1rp 13038 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 1 ∈ ℝ+)
8 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝐹𝑚)
104, 5, 7, 8, 9climi 15546 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1))
11 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211ralimi 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312reximi 3084 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514ex 412 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝑚 → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
163, 15biimtrrid 243 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1716exlimdv 1933 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
182, 17syl5 34 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑛))
2019raleqdv 3326 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
2120cbvrexvw 3238 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2221a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
23 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2423ralimi 3083 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2524reximi 3084 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
276a1i 11 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
2822, 26, 27rspcdva 3623 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
30 eluzelz 12888 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
3130, 4eleq2s 2859 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3332climcau 15707 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3431, 33sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3532r19.29uz 15389 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3635ex 412 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3736ralimdv 3169 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3834, 37mpan9 506 . . . . . . 7 (((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938an32s 652 . . . . . 6 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4039adantll 714 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
41 simplrr 778 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
42 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
4342eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
4443rspccva 3621 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
4541, 44sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4746ralimi 3083 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4842fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))))
4948breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5049cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5147, 50sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5251reximi 3084 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5352ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
55 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
56 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑖))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖)))
5857fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))))
5958breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6055, 59raleqbidv 3346 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6160cbvrexvw 3238 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
62 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6362rexralbidv 3223 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6461, 63bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6564cbvralvw 3237 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
6654, 65sylib 218 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
67 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹𝑉)
6832, 45, 66, 67caucvg 15715 . . . . . 6 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6968adantlll 718 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7040, 69impbida 801 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
714, 32cau4 15395 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7271ad2antrl 728 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7370, 72bitr4d 282 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7473rexlimdvaa 3156 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
7518, 29, 74pm5.21ndd 379 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   < clt 11295  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  serf0  15717  caucvgbf  45500
  Copyright terms: Public domain W3C validator