MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgb 15570
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caucvgb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5856 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 5107 . . . . 5 (𝐹𝑚 ↔ ⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 1rp 12924 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 1 ∈ ℝ+)
8 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝐹𝑚)
104, 5, 7, 8, 9climi 15398 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1))
11 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211ralimi 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312reximi 3084 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514ex 414 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝑚 → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
163, 15biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1716exlimdv 1937 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
182, 17syl5 34 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑛))
2019raleqdv 3312 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
2120cbvrexvw 3225 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2221a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
23 simpl 484 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2423ralimi 3083 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2524reximi 3084 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
276a1i 11 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
2822, 26, 27rspcdva 3581 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
30 eluzelz 12778 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
3130, 4eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3332climcau 15561 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3431, 33sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3532r19.29uz 15241 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3635ex 414 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3736ralimdv 3163 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3834, 37mpan9 508 . . . . . . 7 (((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938an32s 651 . . . . . 6 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4039adantll 713 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
41 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
42 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
4342eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
4443rspccva 3579 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
4541, 44sylan 581 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4746ralimi 3083 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4842fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))))
4948breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5049cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5147, 50sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5251reximi 3084 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5352ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5453adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
55 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
56 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑖))
5756oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖)))
5857fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))))
5958breq1d 5116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6055, 59raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6160cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
62 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6362rexralbidv 3211 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6461, 63bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6564cbvralvw 3224 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
6654, 65sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
67 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹𝑉)
6832, 45, 66, 67caucvg 15569 . . . . . 6 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6968adantlll 717 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7040, 69impbida 800 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
714, 32cau4 15247 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7271ad2antrl 727 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7370, 72bitr4d 282 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7473rexlimdvaa 3150 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
7518, 29, 74pm5.21ndd 381 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  cop 4593   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  1c1 11057   < clt 11194  cmin 11390  cz 12504  cuz 12768  +crp 12920  abscabs 15125  cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  serf0  15571  caucvgbf  43811
  Copyright terms: Public domain W3C validator