MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relin01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relin01 11785
Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
relin01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01
StepHypRef Expression
1 1re 11259 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 letric 11359 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4 0re 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 letric 11359 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
64, 5mpan2 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7 pm3.21 471 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)))
87orim2d 968 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
96, 8syl5com 31 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
109orim1d 967 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
113, 10mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12 df-3or 1087 . 2 ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
1311, 12sylibr 234 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085  wcel 2106   class class class wbr 5148  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  colinearalglem4  28939
  Copyright terms: Public domain W3C validator