MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relin01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relin01 10844
Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
relin01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01
StepHypRef Expression
1 1re 10328 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 letric 10427 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
31, 2mpan2 683 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4 0re 10330 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 letric 10427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
64, 5mpan2 683 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7 pm3.21 464 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)))
87orim2d 990 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
96, 8syl5com 31 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
109orim1d 989 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
113, 10mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12 df-3or 1109 . 2 ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
1311, 12sylibr 226 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874  w3o 1107  wcel 2157   class class class wbr 4843  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369
This theorem is referenced by:  colinearalglem4  26146
  Copyright terms: Public domain W3C validator