Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relin01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relin01 11158
 Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
relin01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01
StepHypRef Expression
1 1re 10635 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 letric 10734 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4 0re 10637 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 letric 10734 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
64, 5mpan2 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7 pm3.21 475 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)))
87orim2d 964 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
96, 8syl5com 31 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
109orim1d 963 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
113, 10mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12 df-3or 1085 . 2 ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
1311, 12sylibr 237 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   ≤ cle 10670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675 This theorem is referenced by:  colinearalglem4  26701
 Copyright terms: Public domain W3C validator