Theorem relin01 11814

Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
relin01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11290	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		letric 11390	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4		0re 11292	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		letric 11390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7		pm3.21 471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
8	7	orim2d 967	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
9	6, 8	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
10	9	orim1d 966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
11	3, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12		df-3or 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
13	11, 12	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  colinearalglem4  28942