Theorem relin01 11765

Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
relin01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11235	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		letric 11337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4		0re 11237	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		letric 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7		pm3.21 477	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
8	7	orim2d 982	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
9	6, 8	syl5com 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
10	9	orim1d 981	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
11	3, 10	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12		df-3or 1104	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276

This theorem is used by:  colinearalglem4  29369