Theorem relin01 11733

Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
relin01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11203	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		letric 11305	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4		0re 11205	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		letric 11305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7		pm3.21 476	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
8	7	orim2d 982	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
9	6, 8	syl5com 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
10	9	orim1d 981	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
11	3, 10	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12		df-3or 1104	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  colinearalglem4  29259