Theorem relin01 11734

Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
relin01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11210	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		letric 11310	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4		0re 11212	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		letric 11310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7		pm3.21 471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
8	7	orim2d 963	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
9	6, 8	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
10	9	orim1d 962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
11	3, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12		df-3or 1085	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
13	11, 12	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  colinearalglem4  28591