Theorem relin01 11499

Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
relin01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10975	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		letric 11075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4		0re 10977	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		letric 11075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7		pm3.21 472	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
8	7	orim2d 964	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
9	6, 8	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))))
10	9	orim1d 963	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
11	3, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12		df-3or 1087	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
13	11, 12	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  colinearalglem4  27277