Theorem 0le1 11752

Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0le1	⊢ 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11225	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11223	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0lt1 11751	. 2 ⊢ 0 < 1
4	1, 2, 3	ltleii 11348	1 ⊢ 0 ≤ 1

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 5111  0cc0 11115  1c1 11116   ≤ cle 11259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by:  lemulge11  12092  0le2OLD  12359  1eluzge0  12920  x2times  13341  0elunit  13512  1elunit  13513  nnge2recico01  13550  fldiv4p1lem1div2  13886  1mod  13954  expge0  14152  expge1  14153  faclbnd3  14346  faclbnd4lem1  14347  hashsnle1  14472  hashgt12el  14477  hashgt12el2  14478  01sqrexlem1  15317  sqrt1  15346  sqrt2gt1lt2  15349  sqrtm1  15350  abs1  15372  rlimno1  15729  harmonic  15936  georeclim  15949  geoisumr  15955  fprodge0  16070  fprodge1  16072  ege2le3  16166  sinbnd  16258  cosbnd  16259  cos2bnd  16266  nn0oddm1d2  16465  flodddiv4  16495  sqnprm  16783  zsqrtelqelz  16839  modprm0  16887  pythagtriplem3  16900  prmolefac  17128  abvneg  20979  gzrngunitlem  21632  rge0srg  21638  psdmvr  22382  dscmet  24780  nmoid  24950  iccpnfcnv  25154  iccpnfhmeo  25155  xrhmeo  25156  ncvs1  25367  vitalilem4  25821  vitalilem5  25822  aalioulem3  26548  dvradcnv  26635  abelth2  26656  tanregt0  26755  efif1olem3  26760  dvlog2lem  26868  cxpge0  26899  cxpaddlelem  26967  bndatandm  27145  atans2  27147  cxp2lim  27192  scvxcvx  27201  logdiflbnd  27210  fsumharmonic  27227  lgamgulmlem2  27245  lgamgulmlem3  27246  lgamgulmlem5  27248  mule1  27363  sqff1o  27397  ppiub  27419  dchrabs2  27477  zabsle1  27511  lgslem2  27513  lgsfcl2  27518  lgsdir2lem1  27540  lgsne0  27550  lgsdinn0  27560  m1lgs  27603  chtppilim  27690  rpvmasumlem  27702  dchrisum0flblem1  27723  dchrisum0flblem2  27724  mulog2sumlem2  27750  pntlemb  27812  ostth3  27853  axcontlem2  29370  elntg2  29390  dfpth2  30141  clwwlknon1le1  30519  0ewlk  30532  0pth  30543  nv1  31098  nmosetn0  31188  nmoo0  31214  norm1  31672  nmopsetn0  32288  nmfnsetn0  32301  nmopge0  32334  nmfnge0  32350  nmop0  32409  nmfn0  32410  nmcexi  32449  hstle1  32649  strlem1  32673  strlem5  32678  jplem1  32691  receqid  33159  nexple  33247  cshw1s2  33344  xrsmulgzz  33393  xrge0slmod  33732  cos9thpiminplylem1  34236  cos9thpinconstrlem1  34243  unitssxrge0  34354  xrge0iifcnv  34387  xrge0iifiso  34389  xrge0iifhom  34391  ddemeas  34691  ballotlem2  34944  ballotlem4  34954  ballotlemic  34962  ballotlem1c  34963  signswch  35013  signsvf0  35032  itgexpif  35058  cvmliftlem13  35825  knoppndvlem11  37168  knoppndvlem18  37175  poimirlem23  38351  dvasin  38412  areacirclem1  38416  cntotbnd  38505  lcmineqlem3  42856  lcmineqlem10  42863  lcmineqlem12  42865  lcmineqlem18  42871  aks4d1p1p4  42896  aks4d1p1p7  42899  aks4d1p3  42903  posbezout  42925  aks6d1c1  42941  aks6d1c2lem4  42952  2np3bcnp1  42969  sticksstones12a  42982  sticksstones12  42983  bcled  43003  aks6d1c7lem1  43005  aks6d1c7lem2  43006  3cubeslem1  43473  pell1qrge1  43655  pell1qrgaplem  43658  pell14qrgapw  43661  pellqrex  43664  pellfundgt1  43668  rmspecnonsq  43692  rmspecfund  43694  rmspecpos  43701  monotoddzzfi  43727  jm2.23  43781  limsup10ex  46545  ioodvbdlimc1lem2  46704  ioodvbdlimc2lem  46706  stoweidlem1  46773  stoweidlem11  46783  stoweidlem18  46790  stoweidlem34  46806  stoweidlem38  46810  stoweidlem55  46827  wallispi2lem1  46843  stirlinglem1  46846  stirlinglem11  46856  stirlinglem13  46858  fourierdlem11  46890  fourierdlem15  46894  fourierdlem39  46918  fourierdlem41  46920  fourierdlem48  46926  fourierdlem79  46957  ovn0lem  47337  hoidmvlelem2  47368  hoidmvlelem4  47370  smfmullem4  47566  ormkglobd  47649  iccpartgt  48234  flsqrt  48403  2exp340mod341  48556  8exp8mod9  48559  nfermltl8rev  48565  tgblthelfgott  48638  tgoldbach  48640  pgnbgreunbgrlem2lem1  48937  pgnbgreunbgrlem2lem2  48938  nn0eo  49365  seppcld  49765