Theorem 0le1 11844

Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0le1	⊢ 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11315	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11313	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0lt1 11843	. 2 ⊢ 0 < 1
4	1, 2, 3	ltleii 11438	1 ⊢ 0 ≤ 1

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 5102  0cc0 11205  1c1 11206   ≤ cle 11349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549

This theorem is used by:  lemulge11  12184  0le2OLD  12451  1eluzge0  13012  x2times  13434  0elunit  13605  1elunit  13606  nnge2recico01  13643  fldiv4p1lem1div2  13980  1mod  14048  expge0  14246  expge1  14247  faclbnd3  14441  faclbnd4lem1  14442  hashsnle1  14567  hashgt12el  14572  hashgt12el2  14573  01sqrexlem1  15416  sqrt1  15445  sqrt2gt1lt2  15448  sqrtm1  15449  abs1  15471  rlimno1  15828  harmonic  16035  georeclim  16048  geoisumr  16054  fprodge0  16167  fprodge1  16169  ege2le3  16263  sinbnd  16355  cosbnd  16356  cos2bnd  16363  nn0oddm1d2  16562  flodddiv4  16592  sqnprm  16885  zsqrtelqelz  16941  modprm0  16990  pythagtriplem3  17003  prmolefac  17231  abvneg  21090  gzrngunitlem  21745  rge0srg  21751  psdmvr  22497  dscmet  24898  nmoid  25068  iccpnfcnv  25272  iccpnfhmeo  25273  xrhmeo  25274  ncvs1  25485  vitalilem4  25939  vitalilem5  25940  aalioulem3  26668  dvradcnv  26755  abelth2  26776  tanregt0  26874  efif1olem3  26879  dvlog2lem  26987  cxpge0  27018  cxpaddlelem  27086  bndatandm  27264  atans2  27266  cxp2lim  27311  scvxcvx  27320  logdiflbnd  27329  fsumharmonic  27346  lgamgulmlem2  27364  lgamgulmlem3  27365  lgamgulmlem5  27367  mule1  27482  sqff1o  27516  ppiub  27538  dchrabs2  27596  zabsle1  27630  lgslem2  27632  lgsfcl2  27637  lgsdir2lem1  27659  lgsne0  27669  lgsdinn0  27679  m1lgs  27722  chtppilim  27809  rpvmasumlem  27821  dchrisum0flblem1  27842  dchrisum0flblem2  27843  mulog2sumlem2  27869  pntlemb  27931  ostth3  27972  axcontlem2  29550  elntg2  29570  dfpth2  30321  clwwlknon1le1  30699  0ewlk  30712  0pth  30723  nv1  31284  nmosetn0  31374  nmoo0  31400  norm1  31858  nmopsetn0  32474  nmfnsetn0  32487  nmopge0  32520  nmfnge0  32536  nmop0  32595  nmfn0  32596  nmcexi  32635  hstle1  32835  strlem1  32859  strlem5  32864  jplem1  32877  receqid  33384  nexple  33472  cshw1s2  33569  xrsmulgzz  33618  xrge0slmod  33957  cos9thpiminplylem1  34462  cos9thpinconstrlem1  34469  unitssxrge0  34580  xrge0iifcnv  34613  xrge0iifiso  34615  xrge0iifhom  34617  ddemeas  34917  ballotlem2  35169  ballotlem4  35179  ballotlemic  35187  ballotlem1c  35188  signswch  35238  signsvf0  35257  itgexpif  35283  cvmliftlem13  36149  knoppndvlem11  37482  knoppndvlem18  37489  poimirlem23  38668  dvasin  38729  areacirclem1  38733  cntotbnd  38837  lcmineqlem3  43188  lcmineqlem10  43195  lcmineqlem12  43197  lcmineqlem18  43203  aks4d1p1p4  43228  aks4d1p1p7  43231  aks4d1p3  43235  posbezout  43257  aks6d1c1  43273  aks6d1c2lem4  43284  2np3bcnp1  43301  sticksstones12a  43314  sticksstones12  43315  bcled  43335  aks6d1c7lem1  43337  aks6d1c7lem2  43338  3cubeslem1  43801  pell1qrge1  43984  pell1qrgaplem  43987  pell14qrgapw  43990  pellqrex  43993  pellfundgt1  43997  rmspecnonsq  44021  rmspecfund  44023  rmspecpos  44030  monotoddzzfi  44056  jm2.23  44110  limsup10ex  46890  ioodvbdlimc1lem2  47049  ioodvbdlimc2lem  47051  stoweidlem1  47118  stoweidlem11  47128  stoweidlem18  47135  stoweidlem34  47151  stoweidlem38  47155  stoweidlem55  47172  wallispi2lem1  47188  stirlinglem1  47191  stirlinglem11  47201  stirlinglem13  47203  fourierdlem11  47235  fourierdlem15  47239  fourierdlem39  47263  fourierdlem41  47265  fourierdlem48  47271  fourierdlem79  47302  ovn0lem  47682  hoidmvlelem2  47713  hoidmvlelem4  47715  smfmullem4  47911  ormkglobd  47994  goldratval  48043  iccpartgt  48616  flsqrt  48785  2exp340mod341  48938  8exp8mod9  48941  nfermltl8rev  48947  tgblthelfgott  49020  tgoldbach  49022  pgnbgreunbgrlem2lem1  49319  pgnbgreunbgrlem2lem2  49320  nn0eo  49747  seppcld  50151