Theorem 0le1 11643

Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0le1	⊢ 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11117	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11115	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0lt1 11642	. 2 ⊢ 0 < 1
4	1, 2, 3	ltleii 11239	1 ⊢ 0 ≤ 1

Syntax hints:   class class class wbr 5092  0cc0 11009  1c1 11010   ≤ cle 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  lemulge11  11987  0le2  12230  1eluzge0  12781  x2times  13201  0elunit  13372  1elunit  13373  fldiv4p1lem1div2  13739  1mod  13807  expge0  14005  expge1  14006  faclbnd3  14199  faclbnd4lem1  14200  hashsnle1  14324  hashgt12el  14329  hashgt12el2  14330  01sqrexlem1  15149  sqrt1  15178  sqrt2gt1lt2  15181  sqrtm1  15182  abs1  15204  rlimno1  15561  harmonic  15766  georeclim  15779  geoisumr  15785  fprodge0  15900  fprodge1  15902  ege2le3  15997  sinbnd  16089  cosbnd  16090  cos2bnd  16097  nn0oddm1d2  16296  flodddiv4  16326  sqnprm  16613  zsqrtelqelz  16669  modprm0  16717  pythagtriplem3  16730  prmolefac  16958  abvneg  20711  gzrngunitlem  21339  rge0srg  21345  psdmvr  22054  dscmet  24458  nmoid  24628  iccpnfcnv  24840  iccpnfhmeo  24841  xrhmeo  24842  ncvs1  25055  vitalilem4  25510  vitalilem5  25511  aalioulem3  26240  dvradcnv  26328  abelth2  26350  tanregt0  26446  efif1olem3  26451  dvlog2lem  26559  cxpge0  26590  cxpaddlelem  26659  bndatandm  26837  atans2  26839  cxp2lim  26885  scvxcvx  26894  logdiflbnd  26903  fsumharmonic  26920  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem5  26941  mule1  27056  sqff1o  27090  ppiub  27113  dchrabs2  27171  zabsle1  27205  lgslem2  27207  lgsfcl2  27212  lgsdir2lem1  27234  lgsne0  27244  lgsdinn0  27254  m1lgs  27297  chtppilim  27384  rpvmasumlem  27396  dchrisum0flblem1  27417  dchrisum0flblem2  27418  mulog2sumlem2  27444  pntlemb  27506  ostth3  27547  axcontlem2  28910  elntg2  28930  dfpth2  29674  clwwlknon1le1  30045  0ewlk  30058  0pth  30069  nv1  30619  nmosetn0  30709  nmoo0  30735  norm1  31193  nmopsetn0  31809  nmfnsetn0  31822  nmopge0  31855  nmfnge0  31871  nmop0  31930  nmfn0  31931  nmcexi  31970  hstle1  32170  strlem1  32194  strlem5  32199  jplem1  32212  receqid  32688  nexple  32789  cshw1s2  32902  xrsmulgzz  32963  xrge0slmod  33285  cos9thpiminplylem1  33749  cos9thpinconstrlem1  33756  unitssxrge0  33867  xrge0iifcnv  33900  xrge0iifiso  33902  xrge0iifhom  33904  ddemeas  34203  ballotlem2  34457  ballotlem4  34467  ballotlemic  34475  ballotlem1c  34476  signswch  34529  signsvf0  34548  itgexpif  34574  cvmliftlem13  35269  knoppndvlem11  36496  knoppndvlem18  36503  poimirlem23  37623  dvasin  37684  areacirclem1  37688  cntotbnd  37776  lcmineqlem3  42004  lcmineqlem10  42011  lcmineqlem12  42013  lcmineqlem18  42019  aks4d1p1p4  42044  aks4d1p1p7  42047  aks4d1p3  42051  posbezout  42073  aks6d1c1  42089  aks6d1c2lem4  42100  2np3bcnp1  42117  sticksstones12a  42130  sticksstones12  42131  bcled  42151  aks6d1c7lem1  42153  aks6d1c7lem2  42154  3cubeslem1  42657  pell1qrge1  42843  pell1qrgaplem  42846  pell14qrgapw  42849  pellqrex  42852  pellfundgt1  42856  rmspecnonsq  42880  rmspecfund  42882  rmspecpos  42889  monotoddzzfi  42915  jm2.23  42969  limsup10ex  45754  ioodvbdlimc1lem2  45913  ioodvbdlimc2lem  45915  stoweidlem1  45982  stoweidlem11  45992  stoweidlem18  45999  stoweidlem34  46015  stoweidlem38  46019  stoweidlem55  46036  wallispi2lem1  46052  stirlinglem1  46055  stirlinglem11  46065  stirlinglem13  46067  fourierdlem11  46099  fourierdlem15  46103  fourierdlem39  46127  fourierdlem41  46129  fourierdlem48  46135  fourierdlem79  46166  ovn0lem  46546  hoidmvlelem2  46577  hoidmvlelem4  46579  smfmullem4  46775  ormkglobd  46856  iccpartgt  47411  flsqrt  47577  2exp340mod341  47717  8exp8mod9  47720  nfermltl8rev  47726  tgblthelfgott  47799  tgoldbach  47801  pgnbgreunbgrlem2lem1  48098  pgnbgreunbgrlem2lem2  48099  nn0eo  48513  seppcld  48914