Theorem 0le1 11761

Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0le1	⊢ 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11234	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11232	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0lt1 11760	. 2 ⊢ 0 < 1
4	1, 2, 3	ltleii 11357	1 ⊢ 0 ≤ 1

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 5103  0cc0 11124  1c1 11125   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  lemulge11  12101  0le2OLD  12368  1eluzge0  12929  x2times  13351  0elunit  13522  1elunit  13523  nnge2recico01  13560  fldiv4p1lem1div2  13896  1mod  13964  expge0  14162  expge1  14163  faclbnd3  14356  faclbnd4lem1  14357  hashsnle1  14482  hashgt12el  14487  hashgt12el2  14488  01sqrexlem1  15329  sqrt1  15358  sqrt2gt1lt2  15361  sqrtm1  15362  abs1  15384  rlimno1  15741  harmonic  15948  georeclim  15961  geoisumr  15967  fprodge0  16080  fprodge1  16082  ege2le3  16176  sinbnd  16268  cosbnd  16269  cos2bnd  16276  nn0oddm1d2  16475  flodddiv4  16505  sqnprm  16793  zsqrtelqelz  16849  modprm0  16897  pythagtriplem3  16910  prmolefac  17138  abvneg  20992  gzrngunitlem  21645  rge0srg  21651  psdmvr  22397  dscmet  24798  nmoid  24968  iccpnfcnv  25172  iccpnfhmeo  25173  xrhmeo  25174  ncvs1  25385  vitalilem4  25839  vitalilem5  25840  aalioulem3  26570  dvradcnv  26657  abelth2  26678  tanregt0  26776  efif1olem3  26781  dvlog2lem  26889  cxpge0  26920  cxpaddlelem  26988  bndatandm  27166  atans2  27168  cxp2lim  27213  scvxcvx  27222  logdiflbnd  27231  fsumharmonic  27248  lgamgulmlem2  27266  lgamgulmlem3  27267  lgamgulmlem5  27269  mule1  27384  sqff1o  27418  ppiub  27440  dchrabs2  27498  zabsle1  27532  lgslem2  27534  lgsfcl2  27539  lgsdir2lem1  27561  lgsne0  27571  lgsdinn0  27581  m1lgs  27624  chtppilim  27711  rpvmasumlem  27723  dchrisum0flblem1  27744  dchrisum0flblem2  27745  mulog2sumlem2  27771  pntlemb  27833  ostth3  27874  axcontlem2  29422  elntg2  29442  dfpth2  30193  clwwlknon1le1  30571  0ewlk  30584  0pth  30595  nv1  31156  nmosetn0  31246  nmoo0  31272  norm1  31730  nmopsetn0  32346  nmfnsetn0  32359  nmopge0  32392  nmfnge0  32408  nmop0  32467  nmfn0  32468  nmcexi  32507  hstle1  32707  strlem1  32731  strlem5  32736  jplem1  32749  receqid  33215  nexple  33303  cshw1s2  33400  xrsmulgzz  33449  xrge0slmod  33788  cos9thpiminplylem1  34292  cos9thpinconstrlem1  34299  unitssxrge0  34410  xrge0iifcnv  34443  xrge0iifiso  34445  xrge0iifhom  34447  ddemeas  34747  ballotlem2  35000  ballotlem4  35010  ballotlemic  35018  ballotlem1c  35019  signswch  35069  signsvf0  35088  itgexpif  35114  cvmliftlem13  35875  knoppndvlem11  37219  knoppndvlem18  37226  poimirlem23  38392  dvasin  38453  areacirclem1  38457  cntotbnd  38546  lcmineqlem3  42897  lcmineqlem10  42904  lcmineqlem12  42906  lcmineqlem18  42912  aks4d1p1p4  42937  aks4d1p1p7  42940  aks4d1p3  42944  posbezout  42966  aks6d1c1  42982  aks6d1c2lem4  42993  2np3bcnp1  43010  sticksstones12a  43023  sticksstones12  43024  bcled  43044  aks6d1c7lem1  43046  aks6d1c7lem2  43047  3cubeslem1  43529  pell1qrge1  43711  pell1qrgaplem  43714  pell14qrgapw  43717  pellqrex  43720  pellfundgt1  43724  rmspecnonsq  43748  rmspecfund  43750  rmspecpos  43757  monotoddzzfi  43783  jm2.23  43837  limsup10ex  46601  ioodvbdlimc1lem2  46760  ioodvbdlimc2lem  46762  stoweidlem1  46829  stoweidlem11  46839  stoweidlem18  46846  stoweidlem34  46862  stoweidlem38  46866  stoweidlem55  46883  wallispi2lem1  46899  stirlinglem1  46902  stirlinglem11  46912  stirlinglem13  46914  fourierdlem11  46946  fourierdlem15  46950  fourierdlem39  46974  fourierdlem41  46976  fourierdlem48  46982  fourierdlem79  47013  ovn0lem  47393  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem4  47426  smfmullem4  47622  ormkglobd  47705  goldratval  47754  iccpartgt  48327  flsqrt  48496  2exp340mod341  48649  8exp8mod9  48652  nfermltl8rev  48658  tgblthelfgott  48731  tgoldbach  48733  pgnbgreunbgrlem2lem1  49030  pgnbgreunbgrlem2lem2  49031  nn0eo  49458  seppcld  49856