MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letric 11213
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
letric ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem letric
StepHypRef Expression
1 ltnle 11192 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
2 ltle 11201 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
31, 2sylbird 259 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
43orrd 861 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
54ancoms 459 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  wcel 2106   class class class wbr 5103  cr 11008   < clt 11147  cle 11148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153
This theorem is referenced by:  lecasei  11219  letrid  11265  relin01  11637  avgle  12353  elz2  12475  uztric  12745  xrsupsslem  13180  xrinfmsslem  13181  01sqrexlem6  15086  resqrex  15089  absor  15139  fzomaxdif  15182  xrsdsreval  20789  elii2  24245  xrhmeo  24255  pcoass  24333  pilem2  25757  pntpbnd1  26880  axcontlem2  27759  icoreclin  35760  poimir  36043  oddcomabszz  41171  zindbi  41173  fzunt  41632
  Copyright terms: Public domain W3C validator