Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reneg0addid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reneg0addid2 40625
Description: Negative zero is a left additive identity. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
reneg0addid2 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem reneg0addid2
StepHypRef Expression
1 elre0re 40559 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 rernegcl 40622 . . 3 (0 ∈ ℝ → (0 − 0) ∈ ℝ)
3 elre0re 40559 . . 3 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4 renegid 40624 . . 3 (0 ∈ ℝ → (0 + (0 − 0)) = 0)
52, 3, 4readdid1addid2d 40562 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)
61, 5mpancom 685 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  (class class class)co 7337  cr 10971  0cc0 10972   + caddc 10975   cresub 40616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-addrcl 11033  ax-addass 11037  ax-rnegex 11043  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-resub 40617
This theorem is referenced by:  resubeulem2  40627  readdid2  40654
  Copyright terms: Public domain W3C validator