Theorem reneg0addid2 39847

Description: Negative zero is a left additive identity. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reneg0addid2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem reneg0addid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 39786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		rernegcl 39844	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
3		elre0re 39786	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4		renegid 39846	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 0)) = 0)
5	2, 3, 4	readdid1addid2d 39789	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) + 𝐴) = 𝐴)
6	1, 5	mpancom 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7151  ℝcr 10567  0cc0 10568   + caddc 10571   −_ℝ cresub 39838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-resscn 10625  ax-addrcl 10629  ax-addass 10633  ax-rnegex 10639  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-ltxr 10711  df-resub 39839

This theorem is referenced by:  resubeulem2  39849  readdid2  39876