Theorem resubeulem2 42985

Description: Lemma for resubeu 42986. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 42982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
3	2	oveq1d 7411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
4		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rernegcl 42980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
9		elre0re 42870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
10	9, 9	readdcld 11211	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11		rernegcl 42980	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
17	5, 8, 16	addassd 11204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
18		resubeulem1 42984	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))
19	18	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 −ℝ 0) + 𝐵))
20	9	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
21	12	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
22		recn 11163	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addassd 11204	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
24		reneg0addlid 42983	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐵) = 𝐵)
25	19, 23, 24	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
26	25	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
27	3, 17, 26	3eqtr3d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073   + caddc 11076   −_ℝ cresub 42974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-addrcl 11134  ax-addass 11138  ax-rnegex 11144  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-resub 42975

This theorem is referenced by:  resubeu  42986