Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubeulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubeulem2 39557
 Description: Lemma for resubeu 39558. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubeulem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2
StepHypRef Expression
1 renegid 39554 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
21adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
32oveq1d 7151 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 − 𝐴)) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)))
4 simpl 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10661 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rernegcl 39552 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 10661 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 elre0re 39505 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
109, 9readdcld 10662 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11 rernegcl 39552 . . . . . . 7 ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
13 id 22 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 10662 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
1514adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
1615recnd 10661 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
175, 8, 16addassd 10655 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 − 𝐴)) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))))
18 resubeulem1 39556 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 − (0 + 0))) = (0 − 0))
1918oveq1d 7151 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 − (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 − 0) + 𝐵))
209recnd 10661 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
2112recnd 10661 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℂ)
22 recn 10619 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
2320, 21, 22addassd 10655 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 − (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)))
24 reneg0addid2 39555 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐵) = 𝐵)
2519, 23, 243eqtr3d 2841 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
2625adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
273, 17, 263eqtr3d 2841 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   −ℝ cresub 39546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-resscn 10586  ax-addrcl 10590  ax-addass 10594  ax-rnegex 10600  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-resub 39547 This theorem is referenced by:  resubeu  39558
 Copyright terms: Public domain W3C validator