Theorem resubeulem2 43137

Description: Lemma for resubeu 43138. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 43134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
3	2	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
4		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rernegcl 43132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
9		elre0re 43022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
10	9, 9	readdcld 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11		rernegcl 43132	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
13		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11233	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
17	5, 8, 16	addassd 11226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
18		resubeulem1 43136	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))
19	18	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 −ℝ 0) + 𝐵))
20	9	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
21	12	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
22		recn 11185	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addassd 11226	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
24		reneg0addlid 43135	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐵) = 𝐵)
25	19, 23, 24	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
26	25	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
27	3, 17, 26	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   + caddc 11098   −_ℝ cresub 43126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-addrcl 11156  ax-addass 11160  ax-rnegex 11166  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-resub 43127

This theorem is referenced by:  resubeu  43138