Theorem resubeulem2 38677

Description: Lemma for resubeu 38678. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 38673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
3	2	oveq1d 6989	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
4		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rernegcl 38671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
9		elre0re 38629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
10	9, 9	readdcld 10467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11		rernegcl 38671	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 10467	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
17	5, 8, 16	addassd 10460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
18		resubeulem1 38676	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))
19	18	oveq1d 6989	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 −ℝ 0) + 𝐵))
20	9	recnd 10466	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
21	12	recnd 10466	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
22		recn 10423	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addassd 10460	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
24		reneg0addid1 38675	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐵) = 𝐵)
25	19, 23, 24	3eqtr3d 2815	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
26	25	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
27	3, 17, 26	3eqtr3d 2815	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333   + caddc 10336   −_ℝ cresub 38665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-addrcl 10394  ax-addass 10398  ax-rnegex 10404  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-resub 38666

This theorem is referenced by:  resubeu  38678