Theorem resubeulem2 42364

Description: Lemma for resubeu 42365. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 42361	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
3	2	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rernegcl 42359	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
9		elre0re 42242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
10	9, 9	readdcld 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11		rernegcl 42359	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11203	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
17	5, 8, 16	addassd 11196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
18		resubeulem1 42363	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))
19	18	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 −ℝ 0) + 𝐵))
20	9	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
21	12	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
22		recn 11158	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addassd 11196	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 −ℝ (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)))
24		reneg0addlid 42362	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐵) = 𝐵)
25	19, 23, 24	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
27	3, 17, 26	3eqtr3d 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   −_ℝ cresub 42353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-addrcl 11129  ax-addass 11133  ax-rnegex 11139  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-resub 42354

This theorem is referenced by:  resubeu  42365