Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubeulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubeulem2 41843
Description: Lemma for resubeu 41844. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubeulem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2
StepHypRef Expression
1 renegid 41840 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
21adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
32oveq1d 7429 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 − 𝐴)) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)))
4 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 11258 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rernegcl 41838 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11258 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 elre0re 41748 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
109, 9readdcld 11259 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11 rernegcl 41838 . . . . . . 7 ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
13 id 22 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11259 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
1615recnd 11258 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
175, 8, 16addassd 11252 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 − 𝐴)) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))))
18 resubeulem1 41842 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 − (0 + 0))) = (0 − 0))
1918oveq1d 7429 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 − (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 − 0) + 𝐵))
209recnd 11258 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
2112recnd 11258 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℂ)
22 recn 11214 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
2320, 21, 22addassd 11252 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 − (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)))
24 reneg0addlid 41841 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐵) = 𝐵)
2519, 23, 243eqtr3d 2775 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
2625adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
273, 17, 263eqtr3d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7414  cr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   cresub 41832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-addrcl 11185  ax-addass 11189  ax-rnegex 11195  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-resub 41833
This theorem is referenced by:  resubeu  41844
  Copyright terms: Public domain W3C validator