Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubeulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubeulem2 42411
Description: Lemma for resubeu 42412. A value which when added to 𝐴, results in 𝐵. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubeulem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem resubeulem2
StepHypRef Expression
1 renegid 42408 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
21adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
32oveq1d 7447 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 − 𝐴)) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)))
4 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 11290 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rernegcl 42406 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11290 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 elre0re 42295 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
109, 9readdcld 11291 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
11 rernegcl 42406 . . . . . . 7 ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
13 id 22 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11291 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
1615recnd 11290 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℂ)
175, 8, 16addassd 11284 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (0 − 𝐴)) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))))
18 resubeulem1 42410 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + (0 − (0 + 0))) = (0 − 0))
1918oveq1d 7447 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 − (0 + 0))) + 𝐵) = ((0 − 0) + 𝐵))
209recnd 11290 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
2112recnd 11290 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℂ)
22 recn 11246 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
2320, 21, 22addassd 11284 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 + (0 − (0 + 0))) + 𝐵) = (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)))
24 reneg0addlid 42409 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐵) = 𝐵)
2519, 23, 243eqtr3d 2784 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
2625adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) = 𝐵)
273, 17, 263eqtr3d 2784 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   cresub 42400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-addrcl 11217  ax-addass 11221  ax-rnegex 11227  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-resub 42401
This theorem is referenced by:  resubeu  42412
  Copyright terms: Public domain W3C validator