Theorem renegid 41805

Description: Addition of a real number and its negative. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Proof of Theorem renegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ (0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴)
2		rernegcl 41803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3		renegadd 41804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
4	2, 3	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
5	1, 4	mpbii 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   −_ℝ cresub 41797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-resub 41798

This theorem is referenced by:  reneg0addlid  41806  resubeulem1  41807  resubeulem2  41808  renegneg  41843  readdcan2  41844  renegid2  41845  sn-negex12  41848  ipiiie0  41869  sn-0tie0  41871  cnreeu  41900