Theorem renegid 43533

Description: Addition of a real number and its negative. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Proof of Theorem renegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴)
2		rernegcl 43531	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3		renegadd 43532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
4	2, 3	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
5	1, 4	mpbii 236	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210   −_ℝ cresub 43525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-addrcl 11268  ax-rnegex 11278  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-resub 43526

This theorem is used by:  reneg0addlid  43534  resubeulem1  43535  resubeulem2  43536  renegneg  43572  readdcan2  43573  renegid2  43574  sn-negex12  43577  ipiiie0  43598  sn-0tie0  43624  cnreeu  43663