Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegid 41931
Description: Addition of a real number and its negative. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
renegid (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)

Proof of Theorem renegid
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (0 − 𝐴) = (0 − 𝐴)
2 rernegcl 41929 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
3 renegadd 41930 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℝ) → ((0 − 𝐴) = (0 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0))
42, 3mpdan 685 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) = (0 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0))
51, 4mpbii 232 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7424  cr 11143  0cc0 11144   + caddc 11147   cresub 41923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-addrcl 11205  ax-rnegex 11215  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-resub 41924
This theorem is referenced by:  reneg0addlid  41932  resubeulem1  41933  resubeulem2  41934  renegneg  41969  readdcan2  41970  renegid2  41971  sn-negex12  41974  ipiiie0  41995  sn-0tie0  41997  cnreeu  42026
  Copyright terms: Public domain W3C validator