Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegid 40819
Description: Addition of a real number and its negative. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
renegid (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)

Proof of Theorem renegid
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (0 − 𝐴) = (0 − 𝐴)
2 rernegcl 40817 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
3 renegadd 40818 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℝ) → ((0 − 𝐴) = (0 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0))
42, 3mpdan 685 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) = (0 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0))
51, 4mpbii 232 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7356  cr 11049  0cc0 11050   + caddc 11053   cresub 40811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-addrcl 11111  ax-rnegex 11121  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-resub 40812
This theorem is referenced by:  reneg0addid2  40820  resubeulem1  40821  resubeulem2  40822  renegneg  40857  readdcan2  40858  renegid2  40859  sn-negex12  40862  ipiiie0  40883  sn-0tie0  40885  cnreeu  40914
  Copyright terms: Public domain W3C validator