Theorem renegid 38635

Description: Addition of a real number and its negative. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Proof of Theorem renegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. 2 ⊢ (0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴)
2		rernegcl 38633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3		renegadd 38634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
4	2, 3	mpdan 674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
5	1, 4	mpbii 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6978  ℝcr 10336  0cc0 10337   + caddc 10340   −_ℝ cresub 38627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-addrcl 10398  ax-rnegex 10408  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-ltxr 10481  df-resub 38628

This theorem is referenced by:  reneg0addid1  38637  resubeulem1  38638  resubeulem2  38639