Theorem renegid 41246

Description: Addition of a real number and its negative. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Proof of Theorem renegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴)
2		rernegcl 41244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3		renegadd 41245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
4	2, 3	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0))
5	1, 4	mpbii 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   −_ℝ cresub 41238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-resub 41239

This theorem is referenced by:  reneg0addlid  41247  resubeulem1  41248  resubeulem2  41249  renegneg  41284  readdcan2  41285  renegid2  41286  sn-negex12  41289  ipiiie0  41310  sn-0tie0  41312  cnreeu  41341