Theorem rernegcl 42406

Description: Closure law for negative reals. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rernegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rernegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42295	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		resubval 42402	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
3	1, 2	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4		renegeu 42405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
5		riotacl 7406	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
7	3, 6	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃!wreu 3377  ℩crio 7388  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   −_ℝ cresub 42400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-addrcl 11217  ax-rnegex 11227  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-resub 42401

This theorem is referenced by:  renegid  42408  reneg0addlid  42409  resubeulem1  42410  resubeulem2  42411  resubeu  42412  sn-00idlem2  42434  renegneg  42446  readdcan2  42447  renegid2  42448  sn-it0e0  42450  sn-negex12  42451  reixi  42457  rei4  42458  ipiiie0  42472  sn-0tie0  42474  zaddcomlem  42486  renegmulnnass  42488  zmulcomlem  42490  zmulcom  42491  mulgt0b2d  42495  sn-0lt1  42498  sn-inelr  42502  cnreeu  42505