Theorem rernegcl 42820

Description: Closure law for negative reals. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rernegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rernegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		resubval 42816	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
3	1, 2	mpancom 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4		renegeu 42819	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
5		riotacl 7335	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
7	3, 6	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3341  ℩crio 7317  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032   + caddc 11035   −_ℝ cresub 42814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-addrcl 11093  ax-rnegex 11103  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-resub 42815

This theorem is referenced by:  renegid  42822  reneg0addlid  42823  resubeulem1  42824  resubeulem2  42825  resubeu  42826  sn-00idlem2  42848  renegneg  42861  readdcan2  42862  renegid2  42863  sn-it0e0  42865  sn-negex12  42866  reixi  42872  rei4  42873  ipiiie0  42887  sn-0tie0  42913  zaddcomlem  42925  renegmulnnass  42927  zmulcomlem  42929  zmulcom  42930  mulgt0b1d  42934  sn-0lt1  42937  sn-reclt0d  42943  mullt0b1d  42945  sn-inelr  42949  cnreeu  42952