Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rernegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rernegcl 39079
Description: Closure law for negative reals. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
rernegcl (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rernegcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elre0re 39032 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 resubval 39075 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
31, 2mpancom 684 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4 renegeu 39078 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
5 riotacl 7120 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → (𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
73, 6eqeltrd 2910 1 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  ∃!wreu 3137  crio 7102  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   cresub 39073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-resub 39074
This theorem is referenced by:  renegid  39081  reneg0addid2  39082  resubeulem1  39083  resubeulem2  39084  resubeu  39085  sn-00idlem2  39107  renegneg  39119  readdcan2  39120  sn-0lt1  39124
  Copyright terms: Public domain W3C validator