Theorem rernegcl 43559

Description: Closure law for negative reals. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rernegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rernegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 43442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		resubval 43555	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
3	1, 2	mpancom 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4		renegeu 43558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
5		riotacl 7398	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) ∈ ℝ)
7	3, 6	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃!wreu 3363  ℩crio 7380  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210   −_ℝ cresub 43553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-addrcl 11268  ax-rnegex 11278  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-resub 43554

This theorem is used by:  renegid  43561  reneg0addlid  43562  resubeulem1  43563  resubeulem2  43564  resubeu  43565  sn-00idlem2  43587  renegneg  43600  readdcan2  43601  renegid2  43602  sn-it0e0  43604  sn-negex12  43605  reixi  43611  rei4  43612  ipiiie0  43626  sn-0tie0  43652  zaddcomlem  43664  renegmulnnass  43666  zmulcomlem  43668  zmulcom  43669  mulgt0b1d  43673  sn-0lt1  43676  sn-reclt0d  43682  mullt0b1d  43684  sn-inelr  43688  cnreeu  43691