Theorem resubeulem1 41244

Description: Lemma for resubeu 41246. A value which when added to zero, results in negative zero. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))

Proof of Theorem resubeulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 41172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
3	1, 1	readdcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
4		rernegcl 41240	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
7	2, 2, 6	addassd 11232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))))
8		renegid 41242	. . . . 5 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = 0)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = 0)
10	7, 9	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0)
11	1, 5	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ∈ ℝ)
12		renegadd 41241	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ↔ (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0))
13	1, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ↔ (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0))
14	10, 13	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))))
15	14	eqcomd 2738	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   −_ℝ cresub 41234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-addrcl 11167  ax-addass 11171  ax-rnegex 11177  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-resub 41235

This theorem is referenced by:  resubeulem2  41245