Theorem resubeulem1 38194

Description: Lemma for resubeu 38196. A value which when added to zero, results in negative zero. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))

Proof of Theorem resubeulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 38151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
3	1, 1	readdcld 10408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
4		rernegcl 38189	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
7	2, 2, 6	addassd 10401	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))))
8		renegid 38191	. . . . 5 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = 0)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = 0)
10	7, 9	eqtr3d 2816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0)
11	1, 5	readdcld 10408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ∈ ℝ)
12		renegadd 38190	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ↔ (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0))
13	1, 11, 12	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ↔ (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0))
14	10, 13	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))))
15	14	eqcomd 2784	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274   + caddc 10277   −_ℝ cresub 38183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-addrcl 10335  ax-addass 10339  ax-rnegex 10345  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-resub 38184

This theorem is referenced by:  resubeulem2  38195