Theorem resubeulem1 41191

Description: Lemma for resubeu 41193. A value which when added to zero, results in negative zero. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeulem1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))

Proof of Theorem resubeulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 41124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
3	1, 1	readdcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
4		rernegcl 41187	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℂ)
7	2, 2, 6	addassd 11231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))))
8		renegid 41189	. . . . 5 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = 0)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 + 0) + (0 −ℝ (0 + 0))) = 0)
10	7, 9	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0)
11	1, 5	readdcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ∈ ℝ)
12		renegadd 41188	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ↔ (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0))
13	1, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) ↔ (0 + (0 + (0 −ℝ (0 + 0)))) = 0))
14	10, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) = (0 + (0 −ℝ (0 + 0))))
15	14	eqcomd 2739	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (0 + 0))) = (0 −ℝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  0cc0 11105   + caddc 11108   −_ℝ cresub 41181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-addrcl 11166  ax-addass 11170  ax-rnegex 11176  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-resub 41182

This theorem is referenced by:  resubeulem2  41192