Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reneg0addlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reneg0addlid 41990
Description: Negative zero is a left additive identity. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
reneg0addlid (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem reneg0addlid
StepHypRef Expression
1 elre0re 41897 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 rernegcl 41987 . . 3 (0 ∈ ℝ → (0 − 0) ∈ ℝ)
3 elre0re 41897 . . 3 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4 renegid 41989 . . 3 (0 ∈ ℝ → (0 + (0 − 0)) = 0)
52, 3, 4readdridaddlidd 41900 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)
61, 5mpancom 686 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7413  cr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136   cresub 41981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-addrcl 11194  ax-addass 11198  ax-rnegex 11204  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-resub 41982
This theorem is referenced by:  resubeulem2  41992  readdlid  42019
  Copyright terms: Public domain W3C validator