Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reneg0addlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reneg0addlid 41841
Description: Negative zero is a left additive identity. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
reneg0addlid (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem reneg0addlid
StepHypRef Expression
1 elre0re 41748 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 rernegcl 41838 . . 3 (0 ∈ ℝ → (0 − 0) ∈ ℝ)
3 elre0re 41748 . . 3 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4 renegid 41840 . . 3 (0 ∈ ℝ → (0 + (0 − 0)) = 0)
52, 3, 4readdridaddlidd 41751 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)
61, 5mpancom 687 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 0) + 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7414  cr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   cresub 41832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-addrcl 11185  ax-addass 11189  ax-rnegex 11195  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-resub 41833
This theorem is referenced by:  resubeulem2  41843  readdlid  41870
  Copyright terms: Public domain W3C validator