Theorem reneg0addlid 42944

Description: Negative zero is a left additive identity. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reneg0addlid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem reneg0addlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		rernegcl 42941	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
3		elre0re 42831	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4		renegid 42943	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 0)) = 0)
5	2, 3, 4	readdridaddlidd 42834	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) + 𝐴) = 𝐴)
6	1, 5	mpancom 698	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067   + caddc 11070   −_ℝ cresub 42935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-addrcl 11128  ax-addass 11132  ax-rnegex 11138  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-resub 42936

This theorem is referenced by:  resubeulem2  42946  readdlid  42973