Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubsub4 39542
 Description: Law for double subtraction. Compare subsub4 10910. (Contributed by Steven Nguyen, 14-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubsub4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem resubsub4
StepHypRef Expression
1 readdcl 10611 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
213adant1 1127 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
3 rersubcl 39531 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
433adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
5 simp3 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 rersubcl 39531 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
8 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 10660 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
105recnd 10660 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
117recnd 10660 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
129, 10, 11addassd 10654 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶))))
13 repncan3 39536 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 𝐵))
145, 4, 13syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 𝐵))
1514oveq2d 7151 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶))) = (𝐵 + (𝐴 𝐵)))
16 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 repncan3 39536 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
188, 16, 17syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
1912, 15, 183eqtrd 2837 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = 𝐴)
202, 7, 19reladdrsub 39538 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10527   + caddc 10531   −ℝ cresub 39518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-addrcl 10589  ax-addass 10593  ax-rnegex 10599  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-ltxr 10671  df-resub 39519 This theorem is referenced by:  rennncan2  39543  repnpcan  39545
 Copyright terms: Public domain W3C validator