Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubsub4 40352
Description: Law for double subtraction. Compare subsub4 11237. (Contributed by Steven Nguyen, 14-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubsub4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem resubsub4
StepHypRef Expression
1 readdcl 10938 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
213adant1 1128 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
3 rersubcl 40341 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
433adant3 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
5 simp3 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 rersubcl 40341 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
8 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 10987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
105recnd 10987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
117recnd 10987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
129, 10, 11addassd 10981 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶))))
13 repncan3 40346 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 𝐵))
145, 4, 13syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 𝐵))
1514oveq2d 7284 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + ((𝐴 𝐵) − 𝐶))) = (𝐵 + (𝐴 𝐵)))
16 simp1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 repncan3 40346 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
188, 16, 17syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
1912, 15, 183eqtrd 2783 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + ((𝐴 𝐵) − 𝐶)) = 𝐴)
202, 7, 19reladdrsub 40348 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  (class class class)co 7268  cr 10854   + caddc 10858   cresub 40328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-addrcl 10916  ax-addass 10920  ax-rnegex 10926  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-resub 40329
This theorem is referenced by:  rennncan2  40353  repnpcan  40355
  Copyright terms: Public domain W3C validator