Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexanuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz3 45036
Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexanuz3.1 𝑗𝜑
rexanuz3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
rexanuz3.3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
rexanuz3.4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
rexanuz3.5 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
rexanuz3.6 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
Assertion
Ref Expression
rexanuz3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3
StepHypRef Expression
1 rexanuz3.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
2 rexanuz3.4 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
31, 2jca 511 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
4 rexanuz3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54rexanuz2 15385 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
63, 5sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
7 rexanuz3.1 . . 3 𝑗𝜑
84eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
98biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzelz 12886 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11 uzid 12891 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
15 rexanuz3.5 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
16 rexanuz3.6 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
1715, 16anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒𝜓) ↔ (𝜃𝜏)))
1817rspcva 3620 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
1913, 14, 18syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2019adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2120ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏)))
2221ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏))))
237, 22reximdai 3259 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏)))
246, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cfv 6563  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  smflimlem4  46730
  Copyright terms: Public domain W3C validator