Theorem rexanuz3 45090

Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexanuz3.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
rexanuz3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rexanuz3.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
rexanuz3.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
rexanuz3.5	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
rexanuz3.6	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
rexanuz3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexanuz3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
2		rexanuz3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
4		rexanuz3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	rexanuz2 15316	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
6	3, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
7		rexanuz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
8	4	eleq2i 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11		uzid 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
15		rexanuz3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
16		rexanuz3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	15, 16	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏)))
18	17	rspcva 3586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
20	19	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏)))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏))))
23	7, 22	reximdai 3239	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏)))
24	6, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ‘cfv 6511  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  smflimlem4  46772