Theorem rexanuz3 45054

Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexanuz3.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
rexanuz3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rexanuz3.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
rexanuz3.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
rexanuz3.5	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
rexanuz3.6	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
rexanuz3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexanuz3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
2		rexanuz3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
4		rexanuz3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	rexanuz2 15357	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
6	3, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
7		rexanuz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
8	4	eleq2i 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 12855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11		uzid 12860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
15		rexanuz3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
16		rexanuz3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	15, 16	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏)))
18	17	rspcva 3597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
20	19	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏)))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏))))
23	7, 22	reximdai 3242	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏)))
24	6, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ‘cfv 6528  ℤcz 12581  ℤ_≥cuz 12845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7403  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-neg 11462  df-z 12582  df-uz 12846

This theorem is referenced by:  smflimlem4  46739