Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexanuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz3 44375
Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexanuz3.1 𝑗𝜑
rexanuz3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
rexanuz3.3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
rexanuz3.4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
rexanuz3.5 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
rexanuz3.6 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
Assertion
Ref Expression
rexanuz3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3
StepHypRef Expression
1 rexanuz3.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
2 rexanuz3.4 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
31, 2jca 511 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
4 rexanuz3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54rexanuz2 15314 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
63, 5sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
7 rexanuz3.1 . . 3 𝑗𝜑
84eleq2i 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
98biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzelz 12848 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11 uzid 12853 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
15 rexanuz3.5 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
16 rexanuz3.6 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
1715, 16anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒𝜓) ↔ (𝜃𝜏)))
1817rspcva 3605 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
1913, 14, 18syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2019adantll 713 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2120ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏)))
2221ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏))))
237, 22reximdai 3253 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏)))
246, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  cfv 6542  cz 12574  cuz 12838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-neg 11463  df-z 12575  df-uz 12839
This theorem is referenced by:  smflimlem4  46075
  Copyright terms: Public domain W3C validator