Theorem rexanuz3 45526

Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexanuz3.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
rexanuz3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rexanuz3.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
rexanuz3.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
rexanuz3.5	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
rexanuz3.6	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
rexanuz3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexanuz3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
2		rexanuz3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
4		rexanuz3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	rexanuz2 15312	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
6	3, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
7		rexanuz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
8	4	eleq2i 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11		uzid 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
15		rexanuz3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
16		rexanuz3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	15, 16	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏)))
18	17	rspcva 3562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
19	13, 14, 18	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
20	19	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏)))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏))))
23	7, 22	reximdai 3239	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏)))
24	6, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ‘cfv 6498  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  smflimlem4  47202