Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexanuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz3 41517
 Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexanuz3.1 𝑗𝜑
rexanuz3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
rexanuz3.3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
rexanuz3.4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
rexanuz3.5 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
rexanuz3.6 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
Assertion
Ref Expression
rexanuz3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3
StepHypRef Expression
1 rexanuz3.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
2 rexanuz3.4 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
31, 2jca 515 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
4 rexanuz3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54rexanuz2 14688 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
63, 5sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
7 rexanuz3.1 . . 3 𝑗𝜑
84eleq2i 2903 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
98biimpi 219 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzelz 12231 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11 uzid 12236 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
15 rexanuz3.5 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
16 rexanuz3.6 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
1715, 16anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒𝜓) ↔ (𝜃𝜏)))
1817rspcva 3598 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
1913, 14, 18syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2019adantll 713 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2120ex 416 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏)))
2221ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏))))
237, 22reximdai 3297 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏)))
246, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127  ‘cfv 6328  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-neg 10850  df-z 11960  df-uz 12222 This theorem is referenced by:  smflimlem4  43198
 Copyright terms: Public domain W3C validator