Theorem eluzelz 12832

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12828	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  eluzelre  12833  uztrn  12840  uzneg  12842  uzss  12845  eluzp1l  12849  eluzadd  12851  eluzsub  12852  eluzaddiOLD  12854  eluzsubiOLD  12856  subeluzsub  12859  uzm1  12860  uzin  12862  uzind4  12890  uzwo  12895  uz2mulcl  12910  uzsupss  12924  elfz5  13493  elfzel2  13499  elfzelz  13501  eluzfz2  13509  peano2fzr  13514  fzsplit2  13526  fzopth  13538  ssfzunsn  13547  fzsuc  13548  elfz1uz  13571  uzsplit  13573  uzdisj  13574  fzm1  13581  uznfz  13584  nn0disj  13617  preduz  13623  elfzo3  13649  fzoss2  13660  fzouzsplit  13667  fzoun  13669  eluzgtdifelfzo  13694  fzosplitsnm1  13707  fzofzp1b  13730  elfzonelfzo  13734  fzosplitsn  13740  fzisfzounsn  13744  fldiv4lem1div2uz2  13801  m1modge3gt1  13883  modaddmodup  13899  om2uzlti  13915  om2uzf1oi  13918  uzrdgxfr  13932  fzen2  13934  seqfveq2  13990  seqfeq2  13991  seqshft2  13994  monoord  13998  monoord2  13999  sermono  14000  seqsplit  14001  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  seqid  14013  leexp2a  14137  expnlbnd2  14197  expmulnbnd  14198  hashfz  14387  fzsdom2  14388  hashfzo  14389  hashfzp1  14391  seqcoll  14425  swrdfv2  14611  pfxccatin12  14683  rexuz3  15295  r19.2uz  15298  rexuzre  15299  cau4  15303  caubnd2  15304  clim  15438  climrlim2  15491  climshft2  15526  climaddc1  15579  climmulc2  15581  climsubc1  15582  climsubc2  15583  clim2ser  15601  clim2ser2  15602  iserex  15603  climlec2  15605  climub  15608  isercolllem2  15612  isercoll  15614  isercoll2  15615  climcau  15617  caurcvg2  15624  caucvgb  15626  serf0  15627  iseraltlem1  15628  iseraltlem2  15629  iseralt  15631  sumrblem  15657  fsumcvg  15658  summolem2a  15661  fsumcvg2  15673  fsumm1  15697  fzosump1  15698  fsump1  15702  fsumrev2  15728  telfsumo  15748  fsumparts  15752  isumsplit  15786  isumrpcl  15789  isumsup2  15792  cvgrat  15829  mertenslem1  15830  clim2div  15835  prodeq2ii  15857  fprodcvg  15874  prodmolem2a  15878  zprod  15881  fprodntriv  15886  fprodser  15893  fprodm1  15911  fprodp1  15913  fprodeq0  15919  isprm3  16620  nprm  16625  dvdsprm  16640  exprmfct  16641  isprm5  16644  maxprmfct  16646  prmdvdsncoprmbd  16663  ncoprmlnprm  16664  phibndlem  16703  dfphi2  16707  hashdvds  16708  pcaddlem  16821  pcfac  16832  expnprm  16835  prmreclem4  16852  vdwlem8  16921  gsumval2a  18604  efgs1b  19604  telgsumfzs  19857  iscau4  24796  caucfil  24800  iscmet3lem3  24807  iscmet3lem1  24808  iscmet3lem2  24809  lmle  24818  uniioombllem3  25102  mbflimsup  25183  mbfi1fseqlem6  25238  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumabs  25540  aaliou3lem1  25855  aaliou3lem2  25856  ulmres  25900  ulmshftlem  25901  ulmshft  25902  ulmcaulem  25906  ulmcau  25907  ulmdvlem1  25912  radcnvlem1  25925  logblt  26289  logbgcd1irr  26299  muval1  26637  chtdif  26662  ppidif  26667  chtub  26715  bcmono  26780  bpos1lem  26785  lgsquad2lem2  26888  2sqlem6  26926  2sqlem8a  26928  2sqlem8  26929  chebbnd1lem1  26972  dchrisumlem2  26993  dchrisum0lem1  27019  ostthlem2  27131  ostth2  27140  axlowdimlem3  28233  axlowdimlem6  28236  axlowdimlem7  28237  axlowdimlem16  28246  axlowdimlem17  28247  axlowdim  28250  clwwnrepclwwn  29628  fzspl  32032  fzdif2  32033  supfz  34729  divcnvlin  34733  gg-dvfsumle  35213  nn0prpwlem  35255  fdc  36661  mettrifi  36673  caushft  36677  aks4d1lem1  40975  aks4d1p1  40989  aks4d1p2  40990  aks4d1p3  40991  aks4d1p5  40993  aks4d1p6  40994  aks4d1p7d1  40995  aks4d1p7  40996  aks4d1p8  41000  aks4d1p9  41001  fzosumm1  41116  dffltz  41424  rmspecnonsq  41693  rmspecfund  41695  rmxyadd  41708  rmxy1  41709  jm2.18  41775  jm2.22  41782  jm2.15nn0  41790  jm2.16nn0  41791  jm2.27a  41792  jm2.27c  41794  jm3.1lem2  41805  jm3.1lem3  41806  jm3.1  41807  expdiophlem1  41808  dvgrat  43119  cvgdvgrat  43120  hashnzfz  43127  uzwo4  43788  ssinc  43824  ssdec  43825  rexanuz3  43833  monoords  44055  fzdifsuc2  44068  iuneqfzuzlem  44092  eluzelzd  44133  allbutfi  44151  eluzelz2  44161  uzid2  44163  monoordxrv  44240  monoord2xrv  44242  fmul01  44344  fmul01lt1lem1  44348  fmul01lt1lem2  44349  climsuselem1  44371  climsuse  44372  climf  44386  climresmpt  44423  climf2  44430  limsupequzlem  44486  limsupmnfuzlem  44490  limsupre3uzlem  44499  itgsinexp  44719  iblspltprt  44737  itgspltprt  44743  iundjiun  45224  smflimsuplem2  45585  smflimsuplem4  45587  smflimsuplem5  45588  fzopredsuc  46079  smonoord  46087  iccpartiltu  46138  fmtnoprmfac2lem1  46282  fmtnofac2lem  46284  lighneallem2  46322  lighneallem4a  46324  lighneallem4b  46325  fppr2odd  46447  fpprwpprb  46456  gboge9  46480  nnsum3primesle9  46510  nnsum4primesevenALTV  46517  wtgoldbnnsum4prm  46518  bgoldbnnsum3prm  46520  bgoldbtbndlem2  46522  m1modmmod  47255  fllogbd  47294  fllog2  47302  dignn0ldlem  47336  dignnld  47337  digexp  47341  dignn0flhalf  47352  nn0sumshdiglemB  47354