Theorem eluzelz 12779

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12775	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  eluzelre  12780  uztrn  12787  uzneg  12789  uzss  12792  eluzp1l  12796  eluzadd  12798  eluzsub  12799  eluzaddiOLD  12801  eluzsubiOLD  12803  subeluzsub  12806  uzm1  12807  uzin  12809  uzind4  12841  uzwo  12846  uz2mulcl  12861  uzsupss  12875  elfz5  13453  elfzel2  13459  elfzelz  13461  eluzfz2  13469  peano2fzr  13474  fzsplit2  13486  fzopth  13498  ssfzunsn  13507  fzsuc  13508  elfz1uz  13531  uzsplit  13533  uzdisj  13534  fzm1  13544  uznfz  13547  nn0disj  13581  preduz  13587  elfzo3  13613  fzoss2  13624  fzouzsplit  13631  fzoun  13633  eluzgtdifelfzo  13664  fzosplitsnm1  13677  fzofzp1b  13702  elfzonelfzo  13706  fzosplitsn  13712  fzisfzounsn  13716  fldiv4lem1div2uz2  13774  m1modge3gt1  13859  modaddmodup  13875  om2uzlti  13891  om2uzf1oi  13894  uzrdgxfr  13908  fzen2  13910  seqfveq2  13965  seqfeq2  13966  seqshft2  13969  monoord  13973  monoord2  13974  sermono  13975  seqsplit  13976  seqf1olem1  13982  seqf1olem2  13983  seqid  13988  leexp2a  14113  expnlbnd2  14175  expmulnbnd  14176  hashfz  14368  fzsdom2  14369  hashfzo  14370  hashfzp1  14372  seqcoll  14405  swrdfv2  14602  pfxccatin12  14674  rexuz3  15291  r19.2uz  15294  rexuzre  15295  cau4  15299  caubnd2  15300  clim  15436  climrlim2  15489  climshft2  15524  climaddc1  15577  climmulc2  15579  climsubc1  15580  climsubc2  15581  clim2ser  15597  clim2ser2  15598  iserex  15599  climlec2  15601  climub  15604  isercolllem2  15608  isercoll  15610  isercoll2  15611  climcau  15613  caurcvg2  15620  caucvgb  15622  serf0  15623  iseraltlem1  15624  iseraltlem2  15625  iseralt  15627  sumrblem  15653  fsumcvg  15654  summolem2a  15657  fsumcvg2  15669  fsumm1  15693  fzosump1  15694  fsump1  15698  fsumrev2  15724  telfsumo  15744  fsumparts  15748  isumsplit  15782  isumrpcl  15785  isumsup2  15788  cvgrat  15825  mertenslem1  15826  clim2div  15831  prodeq2ii  15853  fprodcvg  15872  prodmolem2a  15876  zprod  15879  fprodntriv  15884  fprodser  15891  fprodm1  15909  fprodp1  15911  fprodeq0  15917  isprm3  16629  nprm  16634  dvdsprm  16649  exprmfct  16650  isprm5  16653  maxprmfct  16655  prmdvdsncoprmbd  16673  ncoprmlnprm  16674  phibndlem  16716  dfphi2  16720  hashdvds  16721  pcaddlem  16835  pcfac  16846  expnprm  16849  prmreclem4  16866  vdwlem8  16935  gsumval2a  18594  efgs1b  19650  telgsumfzs  19903  iscau4  25212  caucfil  25216  iscmet3lem3  25223  iscmet3lem1  25224  iscmet3lem2  25225  lmle  25234  uniioombllem3  25519  mbflimsup  25600  mbfi1fseqlem6  25654  dvfsumle  25959  dvfsumleOLD  25960  dvfsumge  25961  dvfsumabs  25962  aaliou3lem1  26283  aaliou3lem2  26284  ulmres  26330  ulmshftlem  26331  ulmshft  26332  ulmcaulem  26336  ulmcau  26337  ulmdvlem1  26342  radcnvlem1  26355  logblt  26727  logbgcd1irr  26737  muval1  27076  chtdif  27101  ppidif  27106  chtub  27156  bcmono  27221  bpos1lem  27226  lgsquad2lem2  27329  2sqlem6  27367  2sqlem8a  27369  2sqlem8  27370  chebbnd1lem1  27413  dchrisumlem2  27434  dchrisum0lem1  27460  ostthlem2  27572  ostth2  27581  axlowdimlem3  28924  axlowdimlem6  28927  axlowdimlem7  28928  axlowdimlem16  28937  axlowdimlem17  28938  axlowdim  28941  clwwnrepclwwn  30323  fzspl  32762  fzdif2  32763  supfz  35709  divcnvlin  35713  nn0prpwlem  36303  fdc  37732  mettrifi  37744  caushft  37748  aks4d1lem1  42043  aks4d1p1  42057  aks4d1p2  42058  aks4d1p3  42059  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  aks6d1c7  42165  aks5lem6  42173  aks5lem8  42182  aks5  42185  fzosumm1  42231  dffltz  42615  rmspecnonsq  42888  rmspecfund  42890  rmxyadd  42903  rmxy1  42904  jm2.18  42970  jm2.22  42977  jm2.15nn0  42985  jm2.16nn0  42986  jm2.27a  42987  jm2.27c  42989  jm3.1lem2  43000  jm3.1lem3  43001  jm3.1  43002  expdiophlem1  43003  dvgrat  44294  cvgdvgrat  44295  hashnzfz  44302  uzwo4  45040  ssinc  45074  ssdec  45075  rexanuz3  45083  monoords  45288  fzdifsuc2  45301  iuneqfzuzlem  45323  eluzelzd  45364  allbutfi  45382  eluzelz2  45392  uzid2  45394  monoordxrv  45470  monoord2xrv  45472  fmul01  45571  fmul01lt1lem1  45575  fmul01lt1lem2  45576  climsuselem1  45598  climsuse  45599  climf  45613  climresmpt  45650  climf2  45657  limsupequzlem  45713  limsupmnfuzlem  45717  limsupre3uzlem  45726  itgsinexp  45946  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  iundjiun  46451  smflimsuplem2  46812  smflimsuplem4  46814  smflimsuplem5  46815  fzopredsuc  47317  m1modmmod  47352  smonoord  47365  iccpartiltu  47416  fmtnoprmfac2lem1  47560  fmtnofac2lem  47562  lighneallem2  47600  lighneallem4a  47602  lighneallem4b  47603  fppr2odd  47725  fpprwpprb  47734  gboge9  47758  nnsum3primesle9  47788  nnsum4primesevenALTV  47795  wtgoldbnnsum4prm  47796  bgoldbnnsum3prm  47798  bgoldbtbndlem2  47800  gpgusgralem  48040  gpgprismgr4cycllem9  48086  fllogbd  48542  fllog2  48550  dignn0ldlem  48584  dignnld  48585  digexp  48589  dignn0flhalf  48600  nn0sumshdiglemB  48602