Theorem eluzelz 12888

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12884	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  eluzelre  12889  uztrn  12896  uzneg  12898  uzss  12901  eluzp1l  12905  eluzadd  12907  eluzsub  12908  eluzaddiOLD  12910  eluzsubiOLD  12912  subeluzsub  12915  uzm1  12916  uzin  12918  uzind4  12948  uzwo  12953  uz2mulcl  12968  uzsupss  12982  elfz5  13556  elfzel2  13562  elfzelz  13564  eluzfz2  13572  peano2fzr  13577  fzsplit2  13589  fzopth  13601  ssfzunsn  13610  fzsuc  13611  elfz1uz  13634  uzsplit  13636  uzdisj  13637  fzm1  13647  uznfz  13650  nn0disj  13684  preduz  13690  elfzo3  13716  fzoss2  13727  fzouzsplit  13734  fzoun  13736  eluzgtdifelfzo  13766  fzosplitsnm1  13779  fzofzp1b  13804  elfzonelfzo  13808  fzosplitsn  13814  fzisfzounsn  13818  fldiv4lem1div2uz2  13876  m1modge3gt1  13959  modaddmodup  13975  om2uzlti  13991  om2uzf1oi  13994  uzrdgxfr  14008  fzen2  14010  seqfveq2  14065  seqfeq2  14066  seqshft2  14069  monoord  14073  monoord2  14074  sermono  14075  seqsplit  14076  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  seqid  14088  leexp2a  14212  expnlbnd2  14273  expmulnbnd  14274  hashfz  14466  fzsdom2  14467  hashfzo  14468  hashfzp1  14470  seqcoll  14503  swrdfv2  14699  pfxccatin12  14771  rexuz3  15387  r19.2uz  15390  rexuzre  15391  cau4  15395  caubnd2  15396  clim  15530  climrlim2  15583  climshft2  15618  climaddc1  15671  climmulc2  15673  climsubc1  15674  climsubc2  15675  clim2ser  15691  clim2ser2  15692  iserex  15693  climlec2  15695  climub  15698  isercolllem2  15702  isercoll  15704  isercoll2  15705  climcau  15707  caurcvg2  15714  caucvgb  15716  serf0  15717  iseraltlem1  15718  iseraltlem2  15719  iseralt  15721  sumrblem  15747  fsumcvg  15748  summolem2a  15751  fsumcvg2  15763  fsumm1  15787  fzosump1  15788  fsump1  15792  fsumrev2  15818  telfsumo  15838  fsumparts  15842  isumsplit  15876  isumrpcl  15879  isumsup2  15882  cvgrat  15919  mertenslem1  15920  clim2div  15925  prodeq2ii  15947  fprodcvg  15966  prodmolem2a  15970  zprod  15973  fprodntriv  15978  fprodser  15985  fprodm1  16003  fprodp1  16005  fprodeq0  16011  isprm3  16720  nprm  16725  dvdsprm  16740  exprmfct  16741  isprm5  16744  maxprmfct  16746  prmdvdsncoprmbd  16764  ncoprmlnprm  16765  phibndlem  16807  dfphi2  16811  hashdvds  16812  pcaddlem  16926  pcfac  16937  expnprm  16940  prmreclem4  16957  vdwlem8  17026  gsumval2a  18698  efgs1b  19754  telgsumfzs  20007  iscau4  25313  caucfil  25317  iscmet3lem3  25324  iscmet3lem1  25325  iscmet3lem2  25326  lmle  25335  uniioombllem3  25620  mbflimsup  25701  mbfi1fseqlem6  25755  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  aaliou3lem1  26384  aaliou3lem2  26385  ulmres  26431  ulmshftlem  26432  ulmshft  26433  ulmcaulem  26437  ulmcau  26438  ulmdvlem1  26443  radcnvlem1  26456  logblt  26827  logbgcd1irr  26837  muval1  27176  chtdif  27201  ppidif  27206  chtub  27256  bcmono  27321  bpos1lem  27326  lgsquad2lem2  27429  2sqlem6  27467  2sqlem8a  27469  2sqlem8  27470  chebbnd1lem1  27513  dchrisumlem2  27534  dchrisum0lem1  27560  ostthlem2  27672  ostth2  27681  axlowdimlem3  28959  axlowdimlem6  28962  axlowdimlem7  28963  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973  axlowdim  28976  clwwnrepclwwn  30363  fzspl  32791  fzdif2  32792  supfz  35729  divcnvlin  35733  nn0prpwlem  36323  fdc  37752  mettrifi  37764  caushft  37768  aks4d1lem1  42063  aks4d1p1  42077  aks4d1p2  42078  aks4d1p3  42079  aks4d1p5  42081  aks4d1p6  42082  aks4d1p7d1  42083  aks4d1p7  42084  aks4d1p8  42088  aks4d1p9  42089  aks6d1c7lem1  42181  aks6d1c7lem2  42182  aks6d1c7  42185  aks5lem6  42193  aks5lem8  42202  aks5  42205  fzosumm1  42291  dffltz  42644  rmspecnonsq  42918  rmspecfund  42920  rmxyadd  42933  rmxy1  42934  jm2.18  43000  jm2.22  43007  jm2.15nn0  43015  jm2.16nn0  43016  jm2.27a  43017  jm2.27c  43019  jm3.1lem2  43030  jm3.1lem3  43031  jm3.1  43032  expdiophlem1  43033  dvgrat  44331  cvgdvgrat  44332  hashnzfz  44339  uzwo4  45058  ssinc  45092  ssdec  45093  rexanuz3  45101  monoords  45309  fzdifsuc2  45322  iuneqfzuzlem  45345  eluzelzd  45386  allbutfi  45404  eluzelz2  45414  uzid2  45416  monoordxrv  45492  monoord2xrv  45494  fmul01  45595  fmul01lt1lem1  45599  fmul01lt1lem2  45600  climsuselem1  45622  climsuse  45623  climf  45637  climresmpt  45674  climf2  45681  limsupequzlem  45737  limsupmnfuzlem  45741  limsupre3uzlem  45750  itgsinexp  45970  iblspltprt  45988  itgspltprt  45994  iundjiun  46475  smflimsuplem2  46836  smflimsuplem4  46838  smflimsuplem5  46839  fzopredsuc  47335  smonoord  47358  iccpartiltu  47409  fmtnoprmfac2lem1  47553  fmtnofac2lem  47555  lighneallem2  47593  lighneallem4a  47595  lighneallem4b  47596  fppr2odd  47718  fpprwpprb  47727  gboge9  47751  nnsum3primesle9  47781  nnsum4primesevenALTV  47788  wtgoldbnnsum4prm  47789  bgoldbnnsum3prm  47791  bgoldbtbndlem2  47793  gpgusgralem  48011  m1modmmod  48442  fllogbd  48481  fllog2  48489  dignn0ldlem  48523  dignnld  48524  digexp  48528  dignn0flhalf  48539  nn0sumshdiglemB  48541