MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadddi 13256
Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 13210, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like (+∞ · (2 − 1)) = -∞ ≠ ((+∞ · 2) − (+∞ · 1)) = (+∞ − +∞) = 0. In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi
StepHypRef Expression
1 xadddilem 13255 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 xaddcl 13200 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
6 xmul02 13229 . . . . 5 ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
8 0xr 11243 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 xaddrid 13202 . . . . 5 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (0 +𝑒 0) = 0
117, 10eqtr4di 2789 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (0 +𝑒 0))
12 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
1312oveq1d 7408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
14 xmul02 13229 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
152, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = 0)
1612oveq1d 7408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1715, 16eqtr3d 2773 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐵))
18 xmul02 13229 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
193, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
2012oveq1d 7408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
2119, 20eqtr3d 2773 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐶))
2217, 21oveq12d 7411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 0) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2311, 13, 223eqtr3d 2779 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
24 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 rexneg 13172 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
27 renegcl 11505 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27eqeltrd 2832 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
2925, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
30 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3224rexrd 11246 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 xlt0neg1 13180 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
3534biimpa 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
36 xadddilem 13255 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
3729, 30, 31, 35, 36syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
3832adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3930, 31, 4syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
40 xmulneg1 13230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
42 xmulneg1 13230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
4338, 30, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
44 xmulneg1 13230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
4538, 31, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
4643, 45oveq12d 7411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
47 xmulcl 13234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
4838, 30, 47syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49 xmulcl 13234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
5038, 31, 49syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xnegdi 13209 . . . . . 6 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
5346, 52eqtr4d 2774 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
5437, 41, 533eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
55 xmulcl 13234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
5638, 39, 55syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
57 xaddcl 13200 . . . . 5 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
5848, 50, 57syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
59 xneg11 13176 . . . 4 (((𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
6056, 58, 59syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
6154, 60mpbid 231 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
62 0re 11198 . . 3 0 ∈ ℝ
63 lttri4 11280 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴𝐴 < 0))
6462, 24, 63sylancr 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴𝐴 < 0))
651, 23, 61, 64mpjao3dan 1431 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  *cxr 11229   < clt 11230  -cneg 11427  -𝑒cxne 13071   +𝑒 cxad 13072   ·e cxmu 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076
This theorem is referenced by:  xadddir  13257  xadddi2  13258
  Copyright terms: Public domain W3C validator