Theorem xadddi 13455

Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 13409, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like (+∞ · (2 − 1)) = -∞ ≠ ((+∞ · 2) − (+∞ · 1)) = (+∞ − +∞) = 0. In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadddilem 13454	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))
2		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		xaddcl 13399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
6		xmul02 13428	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = 0)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = 0)
8		0xr 11386	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xaddrid 13401	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +e 0) = 0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 +e 0) = 0
11	7, 10	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = (0 +e 0))
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
13	12	oveq1d 7461	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)))
14		xmul02 13428	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
15	2, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = 0)
16	12	oveq1d 7461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
17	15, 16	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐵))
18		xmul02 13428	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
19	3, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
20	12	oveq1d 7461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
21	19, 20	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐶))
22	17, 21	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +e 0) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))
23	11, 13, 22	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))
24		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		rexneg 13371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
27		renegcl 11651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
28	26, 27	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ)
29	25, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -e𝐴 ∈ ℝ)
30		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32	24	rexrd 11389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		xlt0neg1 13379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -e𝐴))
34	32, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -e𝐴))
35	34	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -e𝐴)
36		xadddilem 13454	. . . . 5 ⊢ ((( -e𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < -e𝐴) → ( -e𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = (( -e𝐴 ·e 𝐵) +e ( -e𝐴 ·e 𝐶)))
37	29, 30, 31, 35, 36	syl31anc 1401	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = (( -e𝐴 ·e 𝐵) +e ( -e𝐴 ·e 𝐶)))
38	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
39	30, 31, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
40		xmulneg1 13429	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = -e(𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)))
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = -e(𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)))
42		xmulneg1 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 ·e 𝐵) = -e(𝐴 ·e 𝐵))
43	38, 30, 42	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e 𝐵) = -e(𝐴 ·e 𝐵))
44		xmulneg1 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 ·e 𝐶) = -e(𝐴 ·e 𝐶))
45	38, 31, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e 𝐶) = -e(𝐴 ·e 𝐶))
46	43, 45	oveq12d 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (( -e𝐴 ·e 𝐵) +e ( -e𝐴 ·e 𝐶)) = ( -e(𝐴 ·e 𝐵) +e -e(𝐴 ·e 𝐶)))
47		xmulcl 13433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
48	38, 30, 47	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49		xmulcl 13433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
50	38, 31, 49	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
51		xnegdi 13408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → -e((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) = ( -e(𝐴 ·e 𝐵) +e -e(𝐴 ·e 𝐶)))
52	48, 50, 51	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -e((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) = ( -e(𝐴 ·e 𝐵) +e -e(𝐴 ·e 𝐶)))
53	46, 52	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (( -e𝐴 ·e 𝐵) +e ( -e𝐴 ·e 𝐶)) = -e((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))
54	37, 41, 53	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -e(𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = -e((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))
55		xmulcl 13433	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*)
56	38, 39, 55	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*)
57		xaddcl 13399	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
58	48, 50, 57	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
59		xneg11 13375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*) → ( -e(𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = -e((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶))))
60	56, 58, 59	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ( -e(𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = -e((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶))))
61	54, 60	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))
62		0re 11340	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
63		lttri4 11424	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
64	62, 24, 63	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
65	1, 23, 61, 64	mpjao3dan 1460	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +e (𝐴 ·e 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   -cneg 11572   -_ecxne 13268   +_e cxad 13269   ·_e cxmu 13270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273

This theorem is used by:  xadddir  13456  xadddi2  13457