Theorem itg10 25826

Description: The zero function has zero integral. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg10	⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f0 25825	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2		itg1val 25821	. . 3 ⊢ ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(ℝ × {0})) = Σ𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = Σ𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥})))
4		rnxpss 6170	. . . 4 ⊢ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}
5		ssdif0 4320	. . . 4 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ⊆ {0} ↔ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) = ∅)
6	4, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) = ∅
7	6	sumeq1i 15748	. 2 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ ∅ (𝑥 · (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥})))
8		sum0 15772	. 2 ⊢ Σ𝑥 ∈ ∅ (𝑥 · (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}))) = 0
9	3, 7, 8	3eqtri 2788	1 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099   · cmul 11104  Σcsu 15737  volcvol 25601  ∫₁citg1 25753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-xmet 21494  df-met 21495  df-ovol 25602  df-vol 25603  df-mbf 25757  df-itg1 25758

This theorem is referenced by:  itg11  25829  itg1mulc  25842  itg2ge0  25873  itg20  25875  itg2addnclem  38288  itg2addnc  38291