MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f0 25660
Description: The zero function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1f0 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Proof of Theorem i1f0
StepHypRef Expression
1 0re 11248 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21fconst6 6787 . . . 4 (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ
32a1i 11 . . 3 (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
4 snfi 9069 . . . . 5 {0} ∈ Fin
5 rnxpss 6178 . . . . 5 ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}
6 ssfi 9198 . . . . 5 (({0} ∈ Fin ∧ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}) → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
74, 5, 6mp2an 690 . . . 4 ran (ℝ × {0}) ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (⊤ → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
9 difss 4128 . . . . . . 7 (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ ran (ℝ × {0})
109, 5sstri 3986 . . . . . 6 (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ {0}
1110sseli 3972 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
1211adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0})
13 eldifn 4124 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
1413adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
1512, 14pm2.21dd 194 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → ((ℝ × {0}) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
1612, 14pm2.21dd 194 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (vol‘((ℝ × {0}) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
173, 8, 15, 16i1fd 25654 . 2 (⊤ → (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1)
1817mptru 1540 1 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394  wtru 1534  wcel 2098  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630   × cxp 5676  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cima 5681  wf 6545  cfv 6549  Fincfn 8964  cr 11139  0cc0 11140  volcvol 25436  1citg1 25588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-xmet 21289  df-met 21290  df-ovol 25437  df-vol 25438  df-mbf 25592  df-itg1 25593
This theorem is referenced by:  itg10  25661  i1fmulc  25677  itg2ge0  25709  itg20  25711  itg2addnclem  37275  itg2addnc  37278  ftc1anclem8  37304
  Copyright terms: Public domain W3C validator