Theorem i1f0 26013

Description: The zero function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1f0	⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Proof of Theorem i1f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11313	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6772	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
4		snfi 9074	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ Fin
5		rnxpss 6163	. . . . 5 ⊢ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}
6		ssfi 9191	. . . . 5 ⊢ (({0} ∈ Fin ∧ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}) → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ran (ℝ × {0}) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
9		difss 4072	. . . . . . 7 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ ran (ℝ × {0})
10	9, 5	sstri 3917	. . . . . 6 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ {0}
11	10	sseli 3904	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0})
13		eldifn 4068	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
15	12, 14	pm2.21dd 198	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
16	12, 14	pm2.21dd 198	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
17	3, 8, 15, 16	i1fd 26007	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1)
18	17	mptru 1576	1 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Fincfn 8976  ℝcr 11202  0cc0 11203  volcvol 25789  ∫₁citg1 25941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xadd 13245  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-xmet 21676  df-met 21677  df-ovol 25790  df-vol 25791  df-mbf 25945  df-itg1 25946

This theorem is used by:  itg10  26014  i1fmulc  26029  itg2ge0  26061  itg20  26063  itg2addnclem  38682  itg2addnc  38685  ftc1anclem8  38711