Theorem i1f0 25613

Description: The zero function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1f0	⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Proof of Theorem i1f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11111	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6713	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
4		snfi 8965	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ Fin
5		rnxpss 6119	. . . . 5 ⊢ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}
6		ssfi 9082	. . . . 5 ⊢ (({0} ∈ Fin ∧ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}) → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ran (ℝ × {0}) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
9		difss 4086	. . . . . . 7 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ ran (ℝ × {0})
10	9, 5	sstri 3944	. . . . . 6 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ {0}
11	10	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0})
13		eldifn 4082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
15	12, 14	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
16	12, 14	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
17	3, 8, 15, 16	i1fd 25607	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1)
18	17	mptru 1548	1 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4576   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  ℝcr 11002  0cc0 11003  volcvol 25389  ∫₁citg1 25541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xadd 13009  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-xmet 21282  df-met 21283  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546

This theorem is referenced by:  itg10  25614  i1fmulc  25629  itg2ge0  25661  itg20  25663  itg2addnclem  37710  itg2addnc  37713  ftc1anclem8  37739