Theorem i1f0 25644

Description: The zero function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1f0	⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Proof of Theorem i1f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11134	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6724	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
4		snfi 8980	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ Fin
5		rnxpss 6130	. . . . 5 ⊢ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}
6		ssfi 9097	. . . . 5 ⊢ (({0} ∈ Fin ∧ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}) → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ran (ℝ × {0}) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
9		difss 4088	. . . . . . 7 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ ran (ℝ × {0})
10	9, 5	sstri 3943	. . . . . 6 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ {0}
11	10	sseli 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0})
13		eldifn 4084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
15	12, 14	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
16	12, 14	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
17	3, 8, 15, 16	i1fd 25638	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1)
18	17	mptru 1548	1 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026  volcvol 25420  ∫₁citg1 25572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-xmet 21302  df-met 21303  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577

This theorem is referenced by:  itg10  25645  i1fmulc  25660  itg2ge0  25692  itg20  25694  itg2addnclem  37868  itg2addnc  37871  ftc1anclem8  37897