Theorem i1f0 25660

Description: The zero function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1f0	⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Proof of Theorem i1f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6787	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
4		snfi 9069	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ Fin
5		rnxpss 6178	. . . . 5 ⊢ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}
6		ssfi 9198	. . . . 5 ⊢ (({0} ∈ Fin ∧ ran (ℝ × {0}) ⊆ {0}) → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ran (ℝ × {0}) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ran (ℝ × {0}) ∈ Fin)
9		difss 4128	. . . . . . 7 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ ran (ℝ × {0})
10	9, 5	sstri 3986	. . . . . 6 ⊢ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) ⊆ {0}
11	10	sseli 3972	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
12	11	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0})
13		eldifn 4124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
14	13	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
15	12, 14	pm2.21dd 194	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (◡(ℝ × {0}) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
16	12, 14	pm2.21dd 194	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ran (ℝ × {0}) ∖ {0})) → (vol‘(◡(ℝ × {0}) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
17	3, 8, 15, 16	i1fd 25654	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1)
18	17	mptru 1540	1 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 394  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  {csn 4630   × cxp 5676  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679   “ cima 5681  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  Fincfn 8964  ℝcr 11139  0cc0 11140  volcvol 25436  ∫₁citg1 25588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-xmet 21289  df-met 21290  df-ovol 25437  df-vol 25438  df-mbf 25592  df-itg1 25593

This theorem is referenced by:  itg10  25661  i1fmulc  25677  itg2ge0  25709  itg20  25711  itg2addnclem  37275  itg2addnc  37278  ftc1anclem8  37304