MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom4 10547
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom4 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom4
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
21brdom3 10545 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3 mormo 3377 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦)
43alimi 1806 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦)
5 alral 3071 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦)
64, 5syl 17 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦)
76anim1i 614 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
87eximi 1830 . . 3 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
92, 8sylbi 216 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
10 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
11 dmss 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
13 dmxpss 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
1412, 13sstri 3987 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
1514sseli 3974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝑥𝐵)
1610rnssi 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ ran (𝐵 × 𝐴)
17 rnxpss 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐴
1816, 17sstri 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐴
1918sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝑦𝐴)
20 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
2120ssbri 5187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
2219, 21anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦) → (𝑦𝐴𝑥𝑓𝑦))
2322moimi 2535 . . . . . . . . . . . . 13 (∃*𝑦(𝑦𝐴𝑥𝑓𝑦) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
24 df-rmo 3372 . . . . . . . . . . . . 13 (∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑦𝐴𝑥𝑓𝑦))
25 df-rmo 3372 . . . . . . . . . . . . 13 (∃*𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
2623, 24, 253imtr4i 292 . . . . . . . . . . . 12 (∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
2715, 26imim12i 62 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 → ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → ∃*𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
2827ralimi2 3074 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
29 relinxp 5810 . . . . . . . . . 10 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
3028, 29jctil 519 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 → (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
31 dffun9 6576 . . . . . . . . 9 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 ∈ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
3230, 31sylibr 233 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
3332funfnd 6578 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
34 rninxp 6177 . . . . . . . 8 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
3534biimpri 227 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
3633, 35anim12i 612 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
37 df-fo 6548 . . . . . 6 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
3836, 37sylibr 233 . . . . 5 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
39 vex 3474 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
4039inex1 5311 . . . . . . 7 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
4140dmex 7911 . . . . . 6 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
4241fodom 10540 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
44 ssdomg 9014 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
451, 14, 44mp2 9 . . . 4 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
46 domtr 9021 . . . 4 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
4743, 45, 46sylancl 585 . . 3 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
4847exlimiv 1926 . 2 (∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
499, 48impbii 208 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦𝐴 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wal 1532   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  ∃*wmo 2528  wral 3057  wrex 3066  ∃*wrmo 3371  Vcvv 3470  cin 3944  wss 3945   class class class wbr 5142   × cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673  Rel wrel 5677  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  ontowfo 6540  cdom 8955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-ac2 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133
This theorem is referenced by:  brdom7disj  10548
  Copyright terms: Public domain W3C validator