MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylf 25736
Description: The Taylor series defines a function on a subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylf (πœ‘ β†’ 𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑇(π‘˜)

Proof of Theorem taylf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylfval.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylfval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylfval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
5 taylfval.b . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
6 taylfval.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 25734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
8 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
98snssd 4774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ {π‘₯} βŠ† β„‚)
101, 2, 3, 4, 5taylfvallem 25733 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
11 xpss12 5653 . . . . . . . . 9 (({π‘₯} βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
129, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
1312ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
14 iunss 5010 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
1513, 14sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
167, 15eqsstrd 3987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
17 relxp 5656 . . . . 5 Rel (β„‚ Γ— β„‚)
18 relss 5742 . . . . 5 (𝑇 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) β†’ (Rel (β„‚ Γ— β„‚) β†’ Rel 𝑇))
1916, 17, 18mpisyl 21 . . . 4 (πœ‘ β†’ Rel 𝑇)
201, 2, 3, 4, 5, 6eltayl 25735 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯𝑇𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
2120biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯𝑇𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
2221alrimiv 1931 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(π‘₯𝑇𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
23 cnfldbas 20816 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
24 cnring 20835 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ Ring
25 ringcmn 20010 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
27 cnfldtps 24157 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ TopSp
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
29 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (0[,]𝑁) ∈ V
3029inex1 5279 . . . . . . . . . 10 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
321, 2, 3, 4, 5taylfvallem1 25732 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
3332fmpttd 7068 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3534cnfldhaus 24164 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
3723, 26, 28, 31, 33, 34, 36haustsms 23503 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
3837ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
39 moanimv 2620 . . . . . . 7 (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
4038, 39sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
41 moim 2543 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦(π‘₯𝑇𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))) β†’ (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) β†’ βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦))
4222, 40, 41sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦)
4342alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦)
44 dffun6 6514 . . . 4 (Fun 𝑇 ↔ (Rel 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦))
4519, 43, 44sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
4645funfnd 6537 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn dom 𝑇)
47 rnss 5899 . . . 4 (𝑇 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) β†’ ran 𝑇 βŠ† ran (β„‚ Γ— β„‚))
4816, 47syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑇 βŠ† ran (β„‚ Γ— β„‚))
49 rnxpss 6129 . . 3 ran (β„‚ Γ— β„‚) βŠ† β„‚
5048, 49sstrdi 3961 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝑇 βŠ† β„‚)
51 df-f 6505 . 2 (𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚ ↔ (𝑇 Fn dom 𝑇 ∧ ran 𝑇 βŠ† β„‚))
5246, 50, 51sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2537  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  Rel wrel 5643  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  [,]cicc 13274  β†‘cexp 13974  !cfa 14180  TopOpenctopn 17310  CMndccmn 19569  Ringcrg 19971  β„‚fldccnfld 20812  TopSpctps 22297  Hauscha 22675   tsums ctsu 23493   D𝑛 cdvn 25244   Tayl ctayl 25728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-xms 23689  df-ms 23690  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-tayl 25730
This theorem is referenced by:  tayl0  25737
  Copyright terms: Public domain W3C validator