MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem taylf 25864
Description: The Taylor series defines a function on a subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylf (πœ‘ β†’ 𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑇(π‘˜)
Proof of Theorem taylf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylfval.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylfval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylfval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
5 taylfval.b . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
6 taylfval.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 25862 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
8 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
98snssd 4811 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ {π‘₯} βŠ† β„‚)
101, 2, 3, 4, 5taylfvallem 25861 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
11 xpss12 5690 . . . . . . . . 9 (({π‘₯} βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
1312ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
14 iunss 5047 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
1513, 14sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
167, 15eqsstrd 4019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
17 relxp 5693 . . . . 5 Rel (β„‚ Γ— β„‚)
18 relss 5779 . . . . 5 (𝑇 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) β†’ (Rel (β„‚ Γ— β„‚) β†’ Rel 𝑇))
1916, 17, 18mpisyl 21 . . . 4 (πœ‘ β†’ Rel 𝑇)
201, 2, 3, 4, 5, 6eltayl 25863 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯𝑇𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
2120biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯𝑇𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
2221alrimiv 1930 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(π‘₯𝑇𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
23 cnfldbas 20940 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
24 cnring 20959 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ Ring
25 ringcmn 20092 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
27 cnfldtps 24285 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ TopSp
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
29 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 (0[,]𝑁) ∈ V
3029inex1 5316 . . . . . . . . . 10 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
321, 2, 3, 4, 5taylfvallem1 25860 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
3332fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
34 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3534cnfldhaus 24292 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
3723, 26, 28, 31, 33, 34, 36haustsms 23631 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
3837ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
39 moanimv 2615 . . . . . . 7 (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
4038, 39sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
41 moim 2538 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦(π‘₯𝑇𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))) β†’ (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) β†’ βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦))
4222, 40, 41sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦)
4342alrimiv 1930 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦)
44 dffun6 6553 . . . 4 (Fun 𝑇 ↔ (Rel 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯𝑇𝑦))
4519, 43, 44sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
4645funfnd 6576 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn dom 𝑇)
47 rnss 5936 . . . 4 (𝑇 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) β†’ ran 𝑇 βŠ† ran (β„‚ Γ— β„‚))
4816, 47syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑇 βŠ† ran (β„‚ Γ— β„‚))
49 rnxpss 6168 . . 3 ran (β„‚ Γ— β„‚) βŠ† β„‚
5048, 49sstrdi 3993 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝑇 βŠ† β„‚)
51 df-f 6544 . 2 (𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚ ↔ (𝑇 Fn dom 𝑇 ∧ ran 𝑇 βŠ† β„‚))
5246, 50, 51sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒ*wmo 2532  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  Rel wrel 5680  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  [,]cicc 13323  β†‘cexp 14023  !cfa 14229  TopOpenctopn 17363  CMndccmn 19642  Ringcrg 20049  β„‚fldccnfld 20936  TopSpctps 22425  Hauscha 22803   tsums ctsu 23621   D𝑛 cdvn 25372   Tayl ctayl 25856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376  df-tayl 25858
This theorem is referenced by:  tayl0  25865
  Copyright terms: Public domain W3C validator