Theorem sdomsdomcard 10503

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8919	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		numth3 10413	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
4		cardid2 9897	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
5		ensym 8969	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
7		sdomentr 9068	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
8	6, 7	mpdan 695	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
9		sdomsdomcardi 9915	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   class class class wbr 5090  dom cdm 5636  ‘cfv 6506   ≈ cen 8909   ≺ csdm 8911  cardccrd 9879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-ac2 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-card 9883  df-ac 10058

This theorem is referenced by: (None)