Theorem sdomsdomcard 10571

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8962	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		numth3 10475	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
4		cardid2 9961	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
5		ensym 9012	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
6	2, 3, 4, 5	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
7		sdomentr 9112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
8	6, 7	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
9		sdomsdomcardi 9979	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537   ≈ cen 8952   ≺ csdm 8954  cardccrd 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-ac2 10468

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-card 9947  df-ac 10122

This theorem is used by: (None)