Theorem sdomsdomcard 10579

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8971	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		numth3 10489	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
4		cardid2 9972	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
5		ensym 9022	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
7		sdomentr 9130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
8	6, 7	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
9		sdomsdomcardi 9990	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536   ≈ cen 8961   ≺ csdm 8963  cardccrd 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-ac2 10482

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-card 9958  df-ac 10135

This theorem is referenced by: (None)