Theorem sdomsdomcard 10484

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8904	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		numth3 10394	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
4		cardid2 9879	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
5		ensym 8954	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
7		sdomentr 9053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
8	6, 7	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
9		sdomsdomcardi 9897	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  dom cdm 5634  ‘cfv 6502   ≈ cen 8894   ≺ csdm 8896  cardccrd 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-ac2 10387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-card 9865  df-ac 10040

This theorem is referenced by: (None)