Theorem sdomsdomcard 10598

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8991	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		numth3 10508	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
4		cardid2 9991	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
5		ensym 9042	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
7		sdomentr 9150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
8	6, 7	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
9		sdomsdomcardi 10009	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563   ≈ cen 8981   ≺ csdm 8983  cardccrd 9973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-card 9977  df-ac 10154

This theorem is referenced by: (None)