Theorem setinds2f 35284

Description: E induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
setinds2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
setinds2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
setinds2f.3	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds2f	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setinds2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbsbc 3776	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
2		setinds2f.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		setinds2f.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbiev 2302	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	ralbii 3087	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
7		setinds2f.3	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)
8	6, 7	sylbi 216	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
9	8	setinds 35283	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1777  [wsb 2059  ∀wral 3055  [wsbc 3772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411

This theorem is referenced by:  setinds2  35285