Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setinds2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setinds2f 32272
 Description: E induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
setinds2f.1 𝑥𝜓
setinds2f.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
setinds2f.3 (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑)
Assertion
Ref Expression
setinds2f 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setinds2f
StepHypRef Expression
1 sbsbc 3656 . . . . 5 ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)
2 setinds2f.1 . . . . . 6 𝑥𝜓
3 setinds2f.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
42, 3sbie 2484 . . . . 5 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜓)
51, 4bitr3i 269 . . . 4 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜓)
65ralbii 3162 . . 3 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦𝑥 𝜓)
7 setinds2f.3 . . 3 (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑)
86, 7sylbi 209 . 2 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑𝜑)
98setinds 32271 1 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198  Ⅎwnf 1827  [wsb 2011  ∀wral 3090  [wsbc 3652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-reg 8786  ax-inf2 8835 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789 This theorem is referenced by:  setinds2  32273
 Copyright terms: Public domain W3C validator