Theorem setinds2f 33661

Description: E induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
setinds2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
setinds2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
setinds2f.3	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds2f	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setinds2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbsbc 3715	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
2		setinds2f.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		setinds2f.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbiev 2312	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	bitr3i 276	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	ralbii 3090	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
7		setinds2f.3	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)
8	6, 7	sylbi 216	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
9	8	setinds 33660	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1787  [wsb 2068  ∀wral 3063  [wsbc 3711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212

This theorem is referenced by:  setinds2  33662