Theorem setinds2f 34751

Description: E induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
setinds2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
setinds2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
setinds2f.3	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds2f	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setinds2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbsbc 3782	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
2		setinds2f.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		setinds2f.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbiev 2309	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	ralbii 3094	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
7		setinds2f.3	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)
8	6, 7	sylbi 216	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
9	8	setinds 34750	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1786  [wsb 2068  ∀wral 3062  [wsbc 3778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410

This theorem is referenced by:  setinds2  34752