Theorem setinds2f 35812

Description: E induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
setinds2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
setinds2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
setinds2f.3	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds2f	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setinds2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbsbc 3745	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
2		setinds2f.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		setinds2f.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbiev 2315	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	ralbii 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
7		setinds2f.3	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑)
8	6, 7	sylbi 217	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
9	8	setinds 35811	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  Ⅎwnf 1784  [wsb 2067  ∀wral 3047  [wsbc 3741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329

This theorem is referenced by:  setinds2  35813