Theorem setinds 9719

Description: Principle of set induction (or E-induction). If a property passes from all elements of 𝑥 to 𝑥 itself, then it holds for all 𝑥. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3459	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		setind 9717	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
3		dfss3 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
4		df-sbc 3746	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
5	4	ralbii 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
6		nfcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
7		nfsbc1v 3765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜑
8	6, 7	nfralw 3312	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑
9		nfsbc1v 3765	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
10	8, 9	nfim 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		raleq 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑))
12		sbceq1a 3756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → [𝑧 / 𝑥]𝜑)))
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
15	10, 13, 14	chvarfv 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
16	5, 15	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
17	3, 16	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
18		df-sbc 3746	. . . . . 6 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
19	17, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
20	2, 19	mpg 1827	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ 𝜑} = V
21	20	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ V = {𝑥 ∣ 𝜑}
22	21	eqabri 2905	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↔ 𝜑)
23	1, 22	mpbi 233	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  Vcvv 3455  [wsbc 3745   ⊆ wss 3906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-reg 9555  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398

This theorem is referenced by:  setinds2f  9720