Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setinds 35221
Description: Principle of set induction (or E-induction). If a property passes from all elements of 𝑥 to 𝑥 itself, then it holds for all 𝑥. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
setinds.1 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑𝜑)
Assertion
Ref Expression
setinds 𝜑
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem setinds
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . 2 𝑥 ∈ V
2 setind 9735 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 ⊆ {𝑥𝜑} → 𝑧 ∈ {𝑥𝜑}) → {𝑥𝜑} = V)
3 dfss3 3970 . . . . . . 7 (𝑧 ⊆ {𝑥𝜑} ↔ ∀𝑦𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝜑})
4 df-sbc 3778 . . . . . . . . 9 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝑦 ∈ {𝑥𝜑})
54ralbii 3092 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝜑})
6 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
7 nfsbc1v 3797 . . . . . . . . . . 11 𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜑
86, 7nfralw 3307 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑
9 nfsbc1v 3797 . . . . . . . . . 10 𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
108, 9nfim 1898 . . . . . . . . 9 𝑥(∀𝑦𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)
11 raleq 3321 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑))
12 sbceq1a 3788 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑))
1311, 12imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑𝜑) ↔ (∀𝑦𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)))
14 setinds.1 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑𝜑)
1510, 13, 14chvarfv 2232 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)
165, 15sylbir 234 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝜑} → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
173, 16sylbi 216 . . . . . 6 (𝑧 ⊆ {𝑥𝜑} → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
18 df-sbc 3778 . . . . . 6 ([𝑧 / 𝑥]𝜑𝑧 ∈ {𝑥𝜑})
1917, 18sylib 217 . . . . 5 (𝑧 ⊆ {𝑥𝜑} → 𝑧 ∈ {𝑥𝜑})
202, 19mpg 1798 . . . 4 {𝑥𝜑} = V
2120eqcomi 2740 . . 3 V = {𝑥𝜑}
2221eqabri 2876 . 2 (𝑥 ∈ V ↔ 𝜑)
231, 22mpbi 229 1 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  wral 3060  Vcvv 3473  [wsbc 3777  wss 3948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416
This theorem is referenced by:  setinds2f  35222
  Copyright terms: Public domain W3C validator