Theorem setinds 35221

Description: Principle of set induction (or E-induction). If a property passes from all elements of 𝑥 to 𝑥 itself, then it holds for all 𝑥. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
setinds	⊢ 𝜑

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3477	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		setind 9735	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
3		dfss3 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
4		df-sbc 3778	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
5	4	ralbii 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
6		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
7		nfsbc1v 3797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜑
8	6, 7	nfralw 3307	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑
9		nfsbc1v 3797	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
10	8, 9	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		raleq 3321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑))
12		sbceq1a 3788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → [𝑧 / 𝑥]𝜑)))
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑)
15	10, 13, 14	chvarfv 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
16	5, 15	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
17	3, 16	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
18		df-sbc 3778	. . . . . 6 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
19	17, 18	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
20	2, 19	mpg 1798	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ 𝜑} = V
21	20	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ V = {𝑥 ∣ 𝜑}
22	21	eqabri 2876	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↔ 𝜑)
23	1, 22	mpbi 229	1 ⊢ 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  ∀wral 3060  Vcvv 3473  [wsbc 3777   ⊆ wss 3948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416

This theorem is referenced by:  setinds2f  35222