Theorem absslt 28137

Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
absslt	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem absslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 27942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3		absscl 28128	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
7		sleabs 28136	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
9	8	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
10		abssneg 28135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
12	11	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss‘𝐴) <s 𝐵))
13	12	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵)
14	2, 5, 6, 9, 13	slelttrd 27688	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) <s 𝐵)
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
16		absscl 28128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) ∈ No )
18		sleabs 28136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
19	18	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵)
21	15, 17, 6, 19, 20	slelttrd 27688	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
22	14, 21	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵))
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
24		abssor 28134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
26		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
27	26	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
28		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵))
29	28	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
30	27, 29	jaoa 954	. . . . 5 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
31	30	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
32	25, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
33	23, 32	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
35		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
36	34, 35	sltnegd 27953	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
37		negnegs 27950	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
39	38	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
40	36, 39	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
41	40	anbi1d 630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
42	33, 41	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543   No csur 27567   <s cslt 27568   ≤s csle 27671   -u_s cnegs 27926  abs_scabss 28125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8681  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27672  df-sslt 27708  df-scut 27710  df-0s 27751  df-made 27768  df-old 27769  df-left 27771  df-right 27772  df-norec 27849  df-norec2 27860  df-adds 27871  df-negs 27928  df-abss 28126

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28223