Theorem absslt 28208

Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
absslt	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem absslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 27999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3		absscl 28199	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
7		sleabs 28207	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
10		abssneg 28206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
12	11	breq1d 5134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss‘𝐴) <s 𝐵))
13	12	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵)
14	2, 5, 6, 9, 13	slelttrd 27730	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) <s 𝐵)
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
16		absscl 28199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
17	16	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) ∈ No )
18		sleabs 28207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵)
21	15, 17, 6, 19, 20	slelttrd 27730	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
22	14, 21	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵))
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
24		abssor 28205	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
26		breq1 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
28		breq1 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵))
29	28	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
30	27, 29	jaoa 957	. . . . 5 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
31	30	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
32	25, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
33	23, 32	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
35		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
36	34, 35	sltnegd 28010	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
37		negnegs 28007	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
39	38	breq2d 5136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
40	36, 39	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
41	40	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
42	33, 41	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536   No csur 27608   <s cslt 27609   ≤s csle 27713   -u_s cnegs 27982  abs_scabss 28196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-nadd 8683  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sle 27714  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-0s 27793  df-made 27812  df-old 27813  df-left 27815  df-right 27816  df-norec 27902  df-norec2 27913  df-adds 27924  df-negs 27984  df-abss 28197

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28409