Theorem absslt 28117

Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
absslt	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem absslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 27922	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3		absscl 28108	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
7		sleabs 28116	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
9	8	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
10		abssneg 28115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
12	11	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss‘𝐴) <s 𝐵))
13	12	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵)
14	2, 5, 6, 9, 13	slelttrd 27668	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) <s 𝐵)
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
16		absscl 28108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) ∈ No )
18		sleabs 28116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
19	18	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵)
21	15, 17, 6, 19, 20	slelttrd 27668	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
22	14, 21	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵))
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
24		abssor 28114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
26		breq1 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
27	26	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
28		breq1 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵))
29	28	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
30	27, 29	jaoa 954	. . . . 5 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
31	30	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
32	25, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
33	23, 32	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
35		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
36	34, 35	sltnegd 27933	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
37		negnegs 27930	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
39	38	breq2d 5154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
40	36, 39	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
41	40	anbi1d 629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
42	33, 41	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542   No csur 27547   <s cslt 27548   ≤s csle 27651   -u_s cnegs 27906  abs_scabss 28105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-1o 8478  df-2o 8479  df-nadd 8678  df-no 27550  df-slt 27551  df-bday 27552  df-sle 27652  df-sslt 27688  df-scut 27690  df-0s 27731  df-made 27748  df-old 27749  df-left 27751  df-right 27752  df-norec 27829  df-norec2 27840  df-adds 27851  df-negs 27908  df-abss 28106

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28203