MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absslt 28273
Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
absslt ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us𝐵) <s 𝐴𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem absslt
StepHypRef Expression
1 negscl 28068 . . . . . . 7 (𝐴 No → ( -us𝐴) ∈ No )
21ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → ( -us𝐴) ∈ No )
3 absscl 28264 . . . . . . . 8 (( -us𝐴) ∈ No → (abss‘( -us𝐴)) ∈ No )
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 No → (abss‘( -us𝐴)) ∈ No )
54ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us𝐴)) ∈ No )
6 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 No )
7 sleabs 28272 . . . . . . . 8 (( -us𝐴) ∈ No → ( -us𝐴) ≤s (abss‘( -us𝐴)))
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 No → ( -us𝐴) ≤s (abss‘( -us𝐴)))
98ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → ( -us𝐴) ≤s (abss‘( -us𝐴)))
10 abssneg 28271 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → (abss‘( -us𝐴)) = (abss𝐴))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (abss‘( -us𝐴)) = (abss𝐴))
1211breq1d 5153 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss‘( -us𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss𝐴) <s 𝐵))
1312biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us𝐴)) <s 𝐵)
142, 5, 6, 9, 13slelttrd 27806 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → ( -us𝐴) <s 𝐵)
15 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 No )
16 absscl 28264 . . . . . . 7 (𝐴 No → (abss𝐴) ∈ No )
1716ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss𝐴) ∈ No )
18 sleabs 28272 . . . . . . 7 (𝐴 No 𝐴 ≤s (abss𝐴))
1918ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss𝐴))
20 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵)
2115, 17, 6, 19, 20slelttrd 27806 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
2214, 21jca 511 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵))
2322ex 412 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 → (( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵)))
24 abssor 28270 . . . . 5 (𝐴 No → ((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)))
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)))
26 breq1 5146 . . . . . . 7 ((abss𝐴) = 𝐴 → ((abss𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵))
2726biimprd 248 . . . . . 6 ((abss𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss𝐴) <s 𝐵))
28 breq1 5146 . . . . . . 7 ((abss𝐴) = ( -us𝐴) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us𝐴) <s 𝐵))
2928biimprd 248 . . . . . 6 ((abss𝐴) = ( -us𝐴) → (( -us𝐴) <s 𝐵 → (abss𝐴) <s 𝐵))
3027, 29jaoa 958 . . . . 5 (((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us𝐴) <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵))
3130ancomsd 465 . . . 4 (((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)) → ((( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵))
3225, 31syl 17 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵))
3323, 32impbid 212 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵)))
341adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ( -us𝐴) ∈ No )
35 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → 𝐵 No )
3634, 35sltnegd 28079 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (( -us𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us𝐵) <s ( -us ‘( -us𝐴))))
37 negnegs 28076 . . . . . 6 (𝐴 No → ( -us ‘( -us𝐴)) = 𝐴)
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ( -us ‘( -us𝐴)) = 𝐴)
3938breq2d 5155 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (( -us𝐵) <s ( -us ‘( -us𝐴)) ↔ ( -us𝐵) <s 𝐴))
4036, 39bitrd 279 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (( -us𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us𝐵) <s 𝐴))
4140anbi1d 631 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us𝐵) <s 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
4233, 41bitrd 279 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us𝐵) <s 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561   No csur 27684   <s cslt 27685   ≤s csle 27789   -us cnegs 28051  absscabss 28261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-abss 28262
This theorem is referenced by:  remulscllem2  28433
  Copyright terms: Public domain W3C validator