MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absslt 28288
Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
absslt ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us𝐵) <s 𝐴𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem absslt
StepHypRef Expression
1 negscl 28083 . . . . . . 7 (𝐴 No → ( -us𝐴) ∈ No )
21ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → ( -us𝐴) ∈ No )
3 absscl 28279 . . . . . . . 8 (( -us𝐴) ∈ No → (abss‘( -us𝐴)) ∈ No )
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 No → (abss‘( -us𝐴)) ∈ No )
54ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us𝐴)) ∈ No )
6 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 No )
7 sleabs 28287 . . . . . . . 8 (( -us𝐴) ∈ No → ( -us𝐴) ≤s (abss‘( -us𝐴)))
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 No → ( -us𝐴) ≤s (abss‘( -us𝐴)))
98ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → ( -us𝐴) ≤s (abss‘( -us𝐴)))
10 abssneg 28286 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → (abss‘( -us𝐴)) = (abss𝐴))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (abss‘( -us𝐴)) = (abss𝐴))
1211breq1d 5158 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss‘( -us𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss𝐴) <s 𝐵))
1312biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us𝐴)) <s 𝐵)
142, 5, 6, 9, 13slelttrd 27821 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → ( -us𝐴) <s 𝐵)
15 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 No )
16 absscl 28279 . . . . . . 7 (𝐴 No → (abss𝐴) ∈ No )
1716ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss𝐴) ∈ No )
18 sleabs 28287 . . . . . . 7 (𝐴 No 𝐴 ≤s (abss𝐴))
1918ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss𝐴))
20 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵)
2115, 17, 6, 19, 20slelttrd 27821 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
2214, 21jca 511 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (abss𝐴) <s 𝐵) → (( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵))
2322ex 412 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 → (( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵)))
24 abssor 28285 . . . . 5 (𝐴 No → ((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)))
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)))
26 breq1 5151 . . . . . . 7 ((abss𝐴) = 𝐴 → ((abss𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵))
2726biimprd 248 . . . . . 6 ((abss𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss𝐴) <s 𝐵))
28 breq1 5151 . . . . . . 7 ((abss𝐴) = ( -us𝐴) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us𝐴) <s 𝐵))
2928biimprd 248 . . . . . 6 ((abss𝐴) = ( -us𝐴) → (( -us𝐴) <s 𝐵 → (abss𝐴) <s 𝐵))
3027, 29jaoa 957 . . . . 5 (((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us𝐴) <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵))
3130ancomsd 465 . . . 4 (((abss𝐴) = 𝐴 ∨ (abss𝐴) = ( -us𝐴)) → ((( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵))
3225, 31syl 17 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵) → (abss𝐴) <s 𝐵))
3323, 32impbid 212 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵)))
341adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ( -us𝐴) ∈ No )
35 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → 𝐵 No )
3634, 35sltnegd 28094 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (( -us𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us𝐵) <s ( -us ‘( -us𝐴))))
37 negnegs 28091 . . . . . 6 (𝐴 No → ( -us ‘( -us𝐴)) = 𝐴)
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ( -us ‘( -us𝐴)) = 𝐴)
3938breq2d 5160 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (( -us𝐵) <s ( -us ‘( -us𝐴)) ↔ ( -us𝐵) <s 𝐴))
4036, 39bitrd 279 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (( -us𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us𝐵) <s 𝐴))
4140anbi1d 631 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((( -us𝐴) <s 𝐵𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us𝐵) <s 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
4233, 41bitrd 279 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((abss𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us𝐵) <s 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563   No csur 27699   <s cslt 27700   ≤s csle 27804   -us cnegs 28066  absscabss 28276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-abss 28277
This theorem is referenced by:  remulscllem2  28448
  Copyright terms: Public domain W3C validator