Theorem absslt 28190

Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
absslt	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem absslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 27985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3		absscl 28181	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
7		sleabs 28189	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
10		abssneg 28188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
12	11	breq1d 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss‘𝐴) <s 𝐵))
13	12	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵)
14	2, 5, 6, 9, 13	slelttrd 27723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) <s 𝐵)
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
16		absscl 28181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
17	16	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) ∈ No )
18		sleabs 28189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵)
21	15, 17, 6, 19, 20	slelttrd 27723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
22	14, 21	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵))
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
24		abssor 28187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
26		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
28		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵))
29	28	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
30	27, 29	jaoa 957	. . . . 5 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
31	30	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
32	25, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
33	23, 32	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
35		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
36	34, 35	sltnegd 27996	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
37		negnegs 27993	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
39	38	breq2d 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
40	36, 39	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
41	40	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
42	33, 41	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530   No csur 27601   <s cslt 27602   ≤s csle 27706   -u_s cnegs 27968  abs_scabss 28178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-1o 8478  df-2o 8479  df-nadd 8676  df-no 27604  df-slt 27605  df-bday 27606  df-sle 27707  df-sslt 27743  df-scut 27745  df-0s 27786  df-made 27803  df-old 27804  df-left 27806  df-right 27807  df-norec 27888  df-norec2 27899  df-adds 27910  df-negs 27970  df-abss 28179

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28350