Theorem sltmul12ad 28109

Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12ad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
sltmul12ad.5	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
sltmul12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
sltmul12ad.7	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
sltmul12ad.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sltmul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Proof of Theorem sltmul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12ad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscld 28061	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
4		sltmul12ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulscld 28061	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
6		sltmul12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	mulscld 28061	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
8		sltmul12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
9		sltmul12ad.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
10	1, 4, 9	sltled 27697	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
11	1, 4, 2, 8, 10	slemul1ad 28108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶))
12		sltmul12ad.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
13		0sno 27758	. . . . . 6 ⊢ 0s ∈ No
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
15		sltmul12ad.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
16	14, 1, 4, 15, 9	slelttrd 27689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
17	2, 6, 4, 16	sltmul2d 28098	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷)))
18	12, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))
19	3, 5, 7, 11, 18	slelttrd 27689	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353   No csur 27567   <s cslt 27568   ≤s csle 27672   0_s c0s 27754   ·_s cmuls 28032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27673  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27950  df-subs 27951  df-muls 28033

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28388