Theorem sltmul12ad 28033

Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12ad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
sltmul12ad.5	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
sltmul12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
sltmul12ad.7	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
sltmul12ad.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sltmul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Proof of Theorem sltmul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12ad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscld 27985	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
4		sltmul12ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulscld 27985	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
6		sltmul12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	mulscld 27985	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
8		sltmul12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
9		sltmul12ad.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
10	1, 4, 9	sltled 27652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
11	1, 4, 2, 8, 10	slemul1ad 28032	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶))
12		sltmul12ad.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
13		0sno 27709	. . . . . 6 ⊢ 0s ∈ No
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
15		sltmul12ad.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
16	14, 1, 4, 15, 9	slelttrd 27644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
17	2, 6, 4, 16	sltmul2d 28022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷)))
18	12, 17	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))
19	3, 5, 7, 11, 18	slelttrd 27644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404   No csur 27523   <s cslt 27524   ≤s csle 27627   0_s c0s 27705   ·_s cmuls 27956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27526  df-slt 27527  df-bday 27528  df-sle 27628  df-sslt 27664  df-scut 27666  df-0s 27707  df-made 27724  df-old 27725  df-left 27727  df-right 27728  df-norec 27805  df-norec2 27816  df-adds 27827  df-negs 27884  df-subs 27885  df-muls 27957

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28179