MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltmul12ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltmul12ad 28103
Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltmul12ad.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
sltmul12ad.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
sltmul12ad.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
sltmul12ad.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
sltmul12ad.5 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ด)
sltmul12ad.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด <s ๐ต)
sltmul12ad.7 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ถ)
sltmul12ad.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
Assertion
Ref Expression
sltmul12ad (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ต ยทs ๐ท))

Proof of Theorem sltmul12ad
StepHypRef Expression
1 sltmul12ad.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 sltmul12ad.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
31, 2mulscld 28055 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
4 sltmul12ad.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
54, 2mulscld 28055 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
6 sltmul12ad.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
74, 6mulscld 28055 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No )
8 sltmul12ad.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ถ)
9 sltmul12ad.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด <s ๐ต)
101, 4, 9sltled 27722 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
111, 4, 2, 8, 10slemul1ad 28102 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
12 sltmul12ad.8 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
13 0sno 27779 . . . . . 6 0s โˆˆ No
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0s โˆˆ No )
15 sltmul12ad.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ด)
1614, 1, 4, 15, 9slelttrd 27714 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0s <s ๐ต)
172, 6, 4, 16sltmul2d 28092 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ <s ๐ท โ†” (๐ต ยทs ๐ถ) <s (๐ต ยทs ๐ท)))
1812, 17mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) <s (๐ต ยทs ๐ท))
193, 5, 7, 11, 18slelttrd 27714 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ต ยทs ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   No csur 27593   <s cslt 27594   โ‰คs csle 27697   0s c0s 27775   ยทs cmuls 28026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-1o 8493  df-2o 8494  df-nadd 8693  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736  df-0s 27777  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27875  df-norec2 27886  df-adds 27897  df-negs 27954  df-subs 27955  df-muls 28027
This theorem is referenced by:  remulscllem2  28249
  Copyright terms: Public domain W3C validator