Theorem sltmul12ad 28103

Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12ad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
sltmul12ad.5	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
sltmul12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
sltmul12ad.7	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
sltmul12ad.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sltmul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Proof of Theorem sltmul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12ad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscld 28055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
4		sltmul12ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulscld 28055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
6		sltmul12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	mulscld 28055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
8		sltmul12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
9		sltmul12ad.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
10	1, 4, 9	sltled 27722	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
11	1, 4, 2, 8, 10	slemul1ad 28102	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶))
12		sltmul12ad.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
13		0sno 27779	. . . . . 6 ⊢ 0s ∈ No
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
15		sltmul12ad.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
16	14, 1, 4, 15, 9	slelttrd 27714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
17	2, 6, 4, 16	sltmul2d 28092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷)))
18	12, 17	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))
19	3, 5, 7, 11, 18	slelttrd 27714	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   No csur 27593   <s cslt 27594   ≤s csle 27697   0_s c0s 27775   ·_s cmuls 28026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-1o 8493  df-2o 8494  df-nadd 8693  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736  df-0s 27777  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27875  df-norec2 27886  df-adds 27897  df-negs 27954  df-subs 27955  df-muls 28027

This theorem is referenced by:  remulscllem2  28249