MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  epfrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem epfrs 9726
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on 𝐴), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 9727. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4347 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2 snssi 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
32anim2i 618 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
4 ssin 4231 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
5 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
65snss 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑦𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
74, 6bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
83, 7sylib 217 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
98ne0d 4336 . . . . . . . . 9 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → (𝑦𝐴) ≠ ∅)
10 inss2 4230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴
11 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
1211inex1 5318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴) ∈ V
1312epfrc 5663 . . . . . . . . . . . 12 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
1410, 13mp3an2 1450 . . . . . . . . . . 11 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
15 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦𝑥𝐴))
1615anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅))
17 anass 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
1816, 17bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
19 n0 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴))
20 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → 𝑤𝑥)
2120ancri 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
22 trel 5275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → 𝑤𝑦))
23 inass 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴𝑥))
24 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
2524ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∩ (𝐴𝑥)) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2623, 25eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2726eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)))
28 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)) ↔ (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
2927, 28bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥))
30 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3129, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3231ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
3322, 32syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3433expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3534com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3635impd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3721, 36syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3837exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Tr 𝑦 → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3919, 38biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4039com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑦 → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4140imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
4241necon4d 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → (((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅))
4342anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4443expimpd 455 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4518, 44biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4645reximdv2 3165 . . . . . . . . . . 11 (Tr 𝑦 → (∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
4714, 46syl5 34 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑦 → (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
4847expcomd 418 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑦 → ((𝑦𝐴) ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
499, 48syl5 34 . . . . . . . 8 (Tr 𝑦 → (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
5049expd 417 . . . . . . 7 (Tr 𝑦 → ({𝑧} ⊆ 𝑦 → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))))
5150impcom 409 . . . . . 6 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
52513adant3 1133 . . . . 5 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤)) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
53 vsnex 5430 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
5453tz9.1 9724 . . . . 5 𝑦({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤))
5552, 54exlimiiv 1935 . . . 4 (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5655exlimiv 1934 . . 3 (∃𝑧 𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
571, 56sylbi 216 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5857impcom 409 1 (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {csn 4629  Tr wtr 5266   E cep 5580   Fr wfr 5629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410
This theorem is referenced by:  zfregs  9727
  Copyright terms: Public domain W3C validator