Theorem epfrs 9736

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on 𝐴), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 9737. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4299	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
2		snssi 4742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3	2	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
4		ssin 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∩ 𝐴))
5		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
6	5	snss 4741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∩ 𝐴))
7	4, 6	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴))
8	3, 7	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴))
9	8	ne0d 4287	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
10		inss2 4134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
11		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	inex1 5276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ V
13	12	epfrc 5635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴)((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
14	10, 13	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴)((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
15		elin 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅))
17		anass 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
18	16, 17	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
19		n0 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴))
20		elinel1 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝑥)
21	20	ancri 559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)))
22		trel 5219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑦))
23		inass 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∩ 𝑥))
24		incom 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
25	24	ineq2i 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴))
26	23, 25	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴))
27	26	eleq2i 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴)))
28		elin 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)))
29	27, 28	bitr2i 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥))
30		ne0i 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
31	29, 30	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
32	31	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
33	22, 32	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
34	33	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
35	34	com34 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
36	35	impd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
37	21, 36	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
38	37	exlimdv 1965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Tr 𝑦 → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
39	19, 38	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
40	39	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Tr 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
42	41	necon4d 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Tr 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
43	42	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Tr 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
44	43	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
45	18, 44	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
46	45	reximdv2 3172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Tr 𝑦 → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴)((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
47	14, 46	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Tr 𝑦 → (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
48	47	expcomd 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
49	9, 48	syl5 35	. . . . . . . 8 ⊢ (Tr 𝑦 → (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
50	49	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑦 → ({𝑧} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))))
51	50	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
52	51	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
53		vsnex 5392	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
54	53	tz9.1 9734	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤))
55	52, 54	exlimiiv 1963	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
56	55	exlimiv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
57	1, 56	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
58	57	impcom 413	1 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {csn 4584  Tr wtr 5211   E cep 5549   Fr wfr 5600

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422

This theorem is used by:  zfregs  9737