Theorem epfrs 9019

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on 𝐴), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 9020. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4230	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
2		snssi 4648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3	2	anim2i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
4		ssin 4127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∩ 𝐴))
5		vex 3440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
6	5	snss 4625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∩ 𝐴))
7	4, 6	bitr4i 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴))
8	3, 7	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴))
9	8	ne0d 4221	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
10		inss2 4126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
11		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	inex1 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ V
13	12	epfrc 5429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴)((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
14	10, 13	mp3an2 1441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴)((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
15		elin 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅))
17		anass 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
18	16, 17	bitri 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
19		n0 4230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴))
20		elinel1 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝑥)
21	20	ancri 550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)))
22		trel 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑦))
23		inass 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∩ 𝑥))
24		incom 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
25	24	ineq2i 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴))
26	23, 25	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴))
27	26	eleq2i 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴)))
28		elin 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥 ∩ 𝐴)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)))
29	27, 28	bitr2i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥))
30		ne0i 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
31	29, 30	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
32	31	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
33	22, 32	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
34	33	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
35	34	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
36	35	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
37	21, 36	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
38	37	exlimdv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Tr 𝑦 → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
39	19, 38	syl5bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
40	39	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
41	40	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Tr 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
42	41	necon4d 3008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Tr 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
43	42	anim2d 611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Tr 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
44	43	expimpd 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
45	18, 44	syl5bi 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
46	45	reximdv2 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Tr 𝑦 → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝐴)((𝑦 ∩ 𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
47	14, 46	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Tr 𝑦 → (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
48	47	expcomd 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
49	9, 48	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ (Tr 𝑦 → (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
50	49	expd 416	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑦 → ({𝑧} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))))
51	50	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
52	51	3adant3 1125	. . . . 5 ⊢ (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)))
53		snex 5223	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
54	53	tz9.1 9017	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤))
55	52, 54	exlimiiv 1909	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
56	55	exlimiv 1908	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
57	1, 56	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅))
58	57	impcom 408	1 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080  ∀wal 1520   = wceq 1522  ∃wex 1761   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  {csn 4472  Tr wtr 5063   E cep 5352   Fr wfr 5399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898

This theorem is referenced by:  zfregs  9020