Theorem hatomistici 32567

Description: C_ℋ is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hatomistici	⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ HAtoms
2		atssch 32548	. . . . 5 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
3	1, 2	sstri 3947	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
4		chsupcl 31545	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Cℋ )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Cℋ
6		hatomistic.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7	6	chshii 31432	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
8		atelch 32549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ∈ Cℋ )
9	8	anim1i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10		sseq1 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
11	10	elrab 3652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
12	10	elrab 3652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
13	9, 11, 12	3imtr4i 294	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
14	13	ssriv 3942	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
15		ssrab2 4035	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
16		chsupss 31547	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ∧ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
17	3, 15, 16	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
18	14, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
19		chsupid 31617	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
20	6, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
21	18, 20	sseqtri 3986	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
22		elssuni 4899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
23	11, 22	sylbir 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
24		chsupunss 31549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
26	23, 25	sstrdi 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
27	26	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
28		atne0 32550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ≠ 0ℋ)
29	28	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → 𝑦 ≠ 0ℋ)
30		ssin 4192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
31	5	chocini 31659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ
32	31	sseq2i 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ⊆ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ 0ℋ)
33	30, 32	bitr2i 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
34		chle0 31648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℋ))
35	8, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℋ))
36	33, 35	bitr3id 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ((𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 = 0ℋ))
37	36	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))) → 𝑦 = 0ℋ)
38	37	expr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → (𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → 𝑦 = 0ℋ))
39	38	necon3ad 2972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → (𝑦 ≠ 0ℋ → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
40	29, 39	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
41	40	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
42	27, 41	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
43		imnan 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ ¬ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
44	42, 43	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
45		ssin 4192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
46	44, 45	sylnib 330	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
47	46	nrex 3092	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
48	5	choccli 31512	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) ∈ Cℋ
49	6, 48	chincli 31665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ∈ Cℋ
50	49	hatomici 32564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ≠ 0ℋ → ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
51	50	necon1bi 2987	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) → (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ)
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ
53	5, 7, 21, 52	omlsii 31608	. 2 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
54	53	eqcomi 2773	1 ⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088  {crab 3416   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6523   C_ℋ cch 31134  ⊥cort 31135   ∨_ℋ chsup 31139  0_ℋc0h 31140  HAtomscat 31170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cc 10394  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hvcom 31206  ax-hvass 31207  ax-hv0cl 31208  ax-hvaddid 31209  ax-hfvmul 31210  ax-hvmulid 31211  ax-hvmulass 31212  ax-hvdistr1 31213  ax-hvdistr2 31214  ax-hvmul0 31215  ax-hfi 31284  ax-his1 31287  ax-his2 31288  ax-his3 31289  ax-his4 31290  ax-hcompl 31407

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-lm 23291  df-haus 23377  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cfil 25319  df-cau 25320  df-cmet 25321  df-grpo 30698  df-gid 30699  df-ginv 30700  df-gdiv 30701  df-ablo 30750  df-vc 30764  df-nv 30797  df-va 30800  df-ba 30801  df-sm 30802  df-0v 30803  df-vs 30804  df-nmcv 30805  df-ims 30806  df-dip 30906  df-ssp 30927  df-ph 31018  df-cbn 31068  df-hnorm 31173  df-hba 31174  df-hvsub 31176  df-hlim 31177  df-hcau 31178  df-sh 31412  df-ch 31426  df-oc 31457  df-ch0 31458  df-span 31514  df-chsup 31516  df-cv 32484  df-at 32543

This theorem is referenced by:  chpssati  32568