HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hatomistici 29612
Description: C is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
hatomistici 𝐴 = ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3847 . . . . 5 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ HAtoms
2 atssch 29593 . . . . 5 HAtoms ⊆ C
31, 2sstri 3770 . . . 4 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C
4 chsupcl 28590 . . . 4 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ C )
53, 4ax-mp 5 . . 3 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ C
6 hatomistic.1 . . . 4 𝐴C
76chshii 28475 . . 3 𝐴S
8 atelch 29594 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦C )
98anim1i 608 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦C𝑦𝐴))
10 sseq1 3786 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1110elrab 3519 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴))
1210elrab 3519 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥C𝑥𝐴} ↔ (𝑦C𝑦𝐴))
139, 11, 123imtr4i 283 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → 𝑦 ∈ {𝑥C𝑥𝐴})
1413ssriv 3765 . . . . 5 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴}
15 ssrab2 3847 . . . . . 6 {𝑥C𝑥𝐴} ⊆ C
16 chsupss 28592 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C ∧ {𝑥C𝑥𝐴} ⊆ C ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴} → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴})))
173, 15, 16mp2an 683 . . . . 5 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴} → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}))
1814, 17ax-mp 5 . . . 4 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴})
19 chsupid 28662 . . . . 5 (𝐴C → ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}) = 𝐴)
206, 19ax-mp 5 . . . 4 ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}) = 𝐴
2118, 20sseqtri 3797 . . 3 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ 𝐴
22 elssuni 4625 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → 𝑦 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
2311, 22sylbir 226 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
24 chsupunss 28594 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
2623, 25syl6ss 3773 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
2726ex 401 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦𝐴𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
28 atne0 29595 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ≠ 0)
2928adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → 𝑦 ≠ 0)
30 ssin 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
315chocini 28704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0
3231sseq2i 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ⊆ (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ 0)
3330, 32bitr2i 267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ⊆ 0 ↔ (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
34 chle0 28693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦C → (𝑦 ⊆ 0𝑦 = 0))
358, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 0𝑦 = 0))
3633, 35syl5bbr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ HAtoms → ((𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 = 0))
3736biimpa 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))) → 𝑦 = 0)
3837expr 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → (𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → 𝑦 = 0))
3938necon3ad 2950 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4029, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
4140ex 401 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4227, 41syld 47 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
43 imnan 388 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4442, 43sylib 209 . . . . . 6 (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ (𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
45 ssin 3994 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4644, 45sylnib 319 . . . . 5 (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4746nrex 3146 . . . 4 ¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
485choccli 28557 . . . . . . 7 (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) ∈ C
496, 48chincli 28710 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ∈ C
5049hatomici 29609 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ≠ 0 → ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
5150necon1bi 2965 . . . 4 (¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) → (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0)
5247, 51ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0
535, 7, 21, 52omlsii 28653 . 2 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) = 𝐴
5453eqcomi 2774 1 𝐴 = ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  {crab 3059  cin 3731  wss 3732   cuni 4594  cfv 6068   C cch 28177  cort 28178   chsup 28182  0c0h 28183  HAtomscat 28213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-hilex 28247  ax-hfvadd 28248  ax-hvcom 28249  ax-hvass 28250  ax-hv0cl 28251  ax-hvaddid 28252  ax-hfvmul 28253  ax-hvmulid 28254  ax-hvmulass 28255  ax-hvdistr1 28256  ax-hvdistr2 28257  ax-hvmul0 28258  ax-hfi 28327  ax-his1 28330  ax-his2 28331  ax-his3 28332  ax-his4 28333  ax-hcompl 28450
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-lm 21313  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cfil 23332  df-cau 23333  df-cmet 23334  df-grpo 27739  df-gid 27740  df-ginv 27741  df-gdiv 27742  df-ablo 27791  df-vc 27805  df-nv 27838  df-va 27841  df-ba 27842  df-sm 27843  df-0v 27844  df-vs 27845  df-nmcv 27846  df-ims 27847  df-dip 27947  df-ssp 27968  df-ph 28059  df-cbn 28110  df-hnorm 28216  df-hba 28217  df-hvsub 28219  df-hlim 28220  df-hcau 28221  df-sh 28455  df-ch 28469  df-oc 28500  df-ch0 28501  df-span 28559  df-chsup 28561  df-cv 29529  df-at 29588
This theorem is referenced by:  chpssati  29613
  Copyright terms: Public domain W3C validator