HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hatomistici 31478
Description: C is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
hatomistici 𝐴 = ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4073 . . . . 5 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ HAtoms
2 atssch 31459 . . . . 5 HAtoms ⊆ C
31, 2sstri 3987 . . . 4 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C
4 chsupcl 30456 . . . 4 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ C )
53, 4ax-mp 5 . . 3 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ C
6 hatomistic.1 . . . 4 𝐴C
76chshii 30343 . . 3 𝐴S
8 atelch 31460 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦C )
98anim1i 615 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦C𝑦𝐴))
10 sseq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1110elrab 3679 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴))
1210elrab 3679 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥C𝑥𝐴} ↔ (𝑦C𝑦𝐴))
139, 11, 123imtr4i 291 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → 𝑦 ∈ {𝑥C𝑥𝐴})
1413ssriv 3982 . . . . 5 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴}
15 ssrab2 4073 . . . . . 6 {𝑥C𝑥𝐴} ⊆ C
16 chsupss 30458 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C ∧ {𝑥C𝑥𝐴} ⊆ C ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴} → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴})))
173, 15, 16mp2an 690 . . . . 5 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴} → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}))
1814, 17ax-mp 5 . . . 4 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴})
19 chsupid 30528 . . . . 5 (𝐴C → ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}) = 𝐴)
206, 19ax-mp 5 . . . 4 ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}) = 𝐴
2118, 20sseqtri 4014 . . 3 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ 𝐴
22 elssuni 4934 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → 𝑦 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
2311, 22sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
24 chsupunss 30460 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
2623, 25sstrdi 3990 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
2726ex 413 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦𝐴𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
28 atne0 31461 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ≠ 0)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → 𝑦 ≠ 0)
30 ssin 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
315chocini 30570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0
3231sseq2i 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ⊆ (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ 0)
3330, 32bitr2i 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ⊆ 0 ↔ (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
34 chle0 30559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦C → (𝑦 ⊆ 0𝑦 = 0))
358, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 0𝑦 = 0))
3633, 35bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ HAtoms → ((𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 = 0))
3736biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))) → 𝑦 = 0)
3837expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → (𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → 𝑦 = 0))
3938necon3ad 2952 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4029, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
4140ex 413 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4227, 41syld 47 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
43 imnan 400 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4442, 43sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ (𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
45 ssin 4226 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4644, 45sylnib 327 . . . . 5 (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4746nrex 3073 . . . 4 ¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
485choccli 30423 . . . . . . 7 (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) ∈ C
496, 48chincli 30576 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ∈ C
5049hatomici 31475 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ≠ 0 → ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
5150necon1bi 2968 . . . 4 (¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) → (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0)
5247, 51ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0
535, 7, 21, 52omlsii 30519 . 2 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) = 𝐴
5453eqcomi 2740 1 𝐴 = ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  {crab 3431  cin 3943  wss 3944   cuni 4901  cfv 6532   C cch 30045  cort 30046   chsup 30050  0c0h 30051  HAtomscat 30081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvmulass 30123  ax-hvdistr1 30124  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126  ax-hfi 30195  ax-his1 30198  ax-his2 30199  ax-his3 30200  ax-his4 30201  ax-hcompl 30318
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-acn 9919  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-lm 22662  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cfil 24701  df-cau 24702  df-cmet 24703  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-gdiv 29612  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-vs 29715  df-nmcv 29716  df-ims 29717  df-dip 29817  df-ssp 29838  df-ph 29929  df-cbn 29979  df-hnorm 30084  df-hba 30085  df-hvsub 30087  df-hlim 30088  df-hcau 30089  df-sh 30323  df-ch 30337  df-oc 30368  df-ch0 30369  df-span 30425  df-chsup 30427  df-cv 31395  df-at 31454
This theorem is referenced by:  chpssati  31479
  Copyright terms: Public domain W3C validator