Theorem hatomistici 32342

Description: C_ℋ is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hatomistici	⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4027	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ HAtoms
2		atssch 32323	. . . . 5 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
3	1, 2	sstri 3939	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
4		chsupcl 31320	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Cℋ )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Cℋ
6		hatomistic.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7	6	chshii 31207	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
8		atelch 32324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ∈ Cℋ )
9	8	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10		sseq1 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
11	10	elrab 3642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
12	10	elrab 3642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
13	9, 11, 12	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
14	13	ssriv 3933	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
15		ssrab2 4027	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
16		chsupss 31322	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ∧ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
17	3, 15, 16	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
18	14, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
19		chsupid 31392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
20	6, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
21	18, 20	sseqtri 3978	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
22		elssuni 4887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
23	11, 22	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
24		chsupunss 31324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
26	23, 25	sstrdi 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
27	26	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
28		atne0 32325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ≠ 0ℋ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → 𝑦 ≠ 0ℋ)
30		ssin 4186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
31	5	chocini 31434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ
32	31	sseq2i 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ⊆ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ 0ℋ)
33	30, 32	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
34		chle0 31423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℋ))
35	8, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℋ))
36	33, 35	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ((𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 = 0ℋ))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))) → 𝑦 = 0ℋ)
38	37	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → (𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → 𝑦 = 0ℋ))
39	38	necon3ad 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → (𝑦 ≠ 0ℋ → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
40	29, 39	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
41	40	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
42	27, 41	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
43		imnan 399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ ¬ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
45		ssin 4186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
46	44, 45	sylnib 328	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
47	46	nrex 3060	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
48	5	choccli 31287	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) ∈ Cℋ
49	6, 48	chincli 31440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ∈ Cℋ
50	49	hatomici 32339	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ≠ 0ℋ → ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
51	50	necon1bi 2956	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) → (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ)
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ
53	5, 7, 21, 52	omlsii 31383	. 2 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
54	53	eqcomi 2740	1 ⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481   C_ℋ cch 30909  ⊥cort 30910   ∨_ℋ chsup 30914  0_ℋc0h 30915  HAtomscat 30945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065  ax-hcompl 31182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-lm 23144  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cfil 25182  df-cau 25183  df-cmet 25184  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-ssp 30702  df-ph 30793  df-cbn 30843  df-hnorm 30948  df-hba 30949  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953  df-sh 31187  df-ch 31201  df-oc 31232  df-ch0 31233  df-span 31289  df-chsup 31291  df-cv 32259  df-at 32318

This theorem is referenced by:  chpssati  32343