HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hatomistici 31190
Description: C is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
hatomistici 𝐴 = ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4035 . . . . 5 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ HAtoms
2 atssch 31171 . . . . 5 HAtoms ⊆ C
31, 2sstri 3951 . . . 4 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C
4 chsupcl 30168 . . . 4 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ C )
53, 4ax-mp 5 . . 3 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ C
6 hatomistic.1 . . . 4 𝐴C
76chshii 30055 . . 3 𝐴S
8 atelch 31172 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦C )
98anim1i 615 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦C𝑦𝐴))
10 sseq1 3967 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1110elrab 3643 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴))
1210elrab 3643 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥C𝑥𝐴} ↔ (𝑦C𝑦𝐴))
139, 11, 123imtr4i 291 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → 𝑦 ∈ {𝑥C𝑥𝐴})
1413ssriv 3946 . . . . 5 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴}
15 ssrab2 4035 . . . . . 6 {𝑥C𝑥𝐴} ⊆ C
16 chsupss 30170 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C ∧ {𝑥C𝑥𝐴} ⊆ C ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴} → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴})))
173, 15, 16mp2an 690 . . . . 5 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥C𝑥𝐴} → ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}))
1814, 17ax-mp 5 . . . 4 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ ( ‘{𝑥C𝑥𝐴})
19 chsupid 30240 . . . . 5 (𝐴C → ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}) = 𝐴)
206, 19ax-mp 5 . . . 4 ( ‘{𝑥C𝑥𝐴}) = 𝐴
2118, 20sseqtri 3978 . . 3 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ 𝐴
22 elssuni 4896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → 𝑦 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
2311, 22sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
24 chsupunss 30172 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ C {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
2623, 25sstrdi 3954 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
2726ex 413 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦𝐴𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
28 atne0 31173 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ≠ 0)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → 𝑦 ≠ 0)
30 ssin 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
315chocini 30282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0
3231sseq2i 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ⊆ (( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ 0)
3330, 32bitr2i 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ⊆ 0 ↔ (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
34 chle0 30271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦C → (𝑦 ⊆ 0𝑦 = 0))
358, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 0𝑦 = 0))
3633, 35bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ HAtoms → ((𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 = 0))
3736biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))) → 𝑦 = 0)
3837expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → (𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → 𝑦 = 0))
3938necon3ad 2954 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4029, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
4140ex 413 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4227, 41syld 47 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
43 imnan 400 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4442, 43sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ (𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
45 ssin 4188 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ⊆ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4644, 45sylnib 327 . . . . 5 (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
4746nrex 3075 . . . 4 ¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
485choccli 30135 . . . . . . 7 (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})) ∈ C
496, 48chincli 30288 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ∈ C
5049hatomici 31187 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) ≠ 0 → ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))))
5150necon1bi 2970 . . . 4 (¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) → (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0)
5247, 51ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∩ (⊥‘( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))) = 0
535, 7, 21, 52omlsii 30231 . 2 ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) = 𝐴
5453eqcomi 2745 1 𝐴 = ( ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  {crab 3405  cin 3907  wss 3908   cuni 4863  cfv 6493   C cch 29757  cort 29758   chsup 29762  0c0h 29763  HAtomscat 29793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvmulass 29835  ax-hvdistr1 29836  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913  ax-hcompl 30030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-acn 9874  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-lm 22564  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cfil 24603  df-cau 24604  df-cmet 24605  df-grpo 29321  df-gid 29322  df-ginv 29323  df-gdiv 29324  df-ablo 29373  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-vs 29427  df-nmcv 29428  df-ims 29429  df-dip 29529  df-ssp 29550  df-ph 29641  df-cbn 29691  df-hnorm 29796  df-hba 29797  df-hvsub 29799  df-hlim 29800  df-hcau 29801  df-sh 30035  df-ch 30049  df-oc 30080  df-ch0 30081  df-span 30137  df-chsup 30139  df-cv 31107  df-at 31166
This theorem is referenced by:  chpssati  31191
  Copyright terms: Public domain W3C validator