Theorem hatomistici 30443

Description: C_ℋ is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hatomistici	⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3993	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ HAtoms
2		atssch 30424	. . . . 5 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
3	1, 2	sstri 3910	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
4		chsupcl 29421	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Cℋ )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Cℋ
6		hatomistic.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7	6	chshii 29308	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
8		atelch 30425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ∈ Cℋ )
9	8	anim1i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10		sseq1 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
11	10	elrab 3602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
12	10	elrab 3602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
13	9, 11, 12	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
14	13	ssriv 3905	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
15		ssrab2 3993	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
16		chsupss 29423	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ∧ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
17	3, 15, 16	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
18	14, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
19		chsupid 29493	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
20	6, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
21	18, 20	sseqtri 3937	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
22		elssuni 4851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
23	11, 22	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
24		chsupunss 29425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
25	3, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
26	23, 25	sstrdi 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
27	26	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
28		atne0 30426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → 𝑦 ≠ 0ℋ)
29	28	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → 𝑦 ≠ 0ℋ)
30		ssin 4145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
31	5	chocini 29535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ
32	31	sseq2i 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ⊆ (( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ 0ℋ)
33	30, 32	bitr2i 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
34		chle0 29524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℋ))
35	8, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℋ))
36	33, 35	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ((𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 = 0ℋ))
37	36	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))) → 𝑦 = 0ℋ)
38	37	expr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → (𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → 𝑦 = 0ℋ))
39	38	necon3ad 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → (𝑦 ≠ 0ℋ → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
40	29, 39	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ HAtoms ∧ 𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
41	40	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
42	27, 41	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
43		imnan 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ ¬ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
44	42, 43	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
45		ssin 4145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ↔ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
46	44, 45	sylnib 331	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ HAtoms → ¬ 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
47	46	nrex 3188	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
48	5	choccli 29388	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})) ∈ Cℋ
49	6, 48	chincli 29541	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ∈ Cℋ
50	49	hatomici 30440	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) ≠ 0ℋ → ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))))
51	50	necon1bi 2969	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ HAtoms 𝑦 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) → (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ)
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))) = 0ℋ
53	5, 7, 21, 52	omlsii 29484	. 2 ⊢ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
54	53	eqcomi 2746	1 ⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∪ cuni 4819  ‘cfv 6380   C_ℋ cch 29010  ⊥cort 29011   ∨_ℋ chsup 29015  0_ℋc0h 29016  HAtomscat 29046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-span 29390  df-chsup 29392  df-cv 30360  df-at 30419

This theorem is referenced by:  chpssati  30444