HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem2 32345
Description: Lemma for mdslmd1i 32348. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))

Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 4242 . . . 4 (𝑅𝐷 → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
21adantl 481 . . 3 (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
32imim1i 63 . 2 (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
4 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅C
75, 6chub2i 31489 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)
8 sstr 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
97, 8mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
109ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
1110ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
12 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
1312ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐷)
1411, 13ssind 4241 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷))
15 ssin 4239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷C
175, 16chincli 31479 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐷) ∈ C
1817, 6chub2i 31489 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))
19 sstr 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2018, 19mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2115, 20sylbi 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2322ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2414, 23ssind 4241 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))))
25 inss2 4238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
26 sstr 3992 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2827ad2antll 729 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2928ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
30 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231ad2ant2l 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
35 ssinss1 4246 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3635ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3736ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3834, 37jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
4139, 40chjcli 31476 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
426, 17, 41chlubi 31490 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4338, 42sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4429, 43jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
456, 5chjcli 31476 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐶) ∈ C
4645, 16chincli 31479 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
476, 17chjcli 31476 . . . . . . . 8 (𝑅 (𝐶𝐷)) ∈ C
4846, 47, 41chlubi 31490 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
4944, 48sylib 218 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 32336 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))) ∧ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1373 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
52 inindir 4236 . . . . . . 7 (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
53 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5415, 53sylanb 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5554ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝑅)
56 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐶)
5755, 56ssind 4241 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅𝐶))
58 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
5933, 58jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
606, 5, 41chlubi 31490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6159, 60sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6257, 61jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 32338 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6462, 63sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6564anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6665ineq1d 4219 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
6752, 66eqtr2id 2790 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
6815biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
7054, 69ssind 4241 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)))
7131adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
7235ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7371, 72jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7473, 42sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
7570, 74anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) ∧ ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7675an4s 660 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 32338 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7876, 77sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7978anassrs 467 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
80 inindir 4236 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8281oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8379, 82eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8467, 83sseq12d 4017 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
8551, 84bitr4d 282 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
8685exbiri 811 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
883, 87syl5 34 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   C cch 30948   chj 30952   𝑀 cmd 30985   𝑀* cdmd 30986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-chj 31329  df-md 32299  df-dmd 32300
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  32347
  Copyright terms: Public domain W3C validator