HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdslmd1lem2 32178
Description: Lemma for mdslmd1i 32181. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
mdslmd.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
mdslmd.3 𝐢 ∈ Cβ„‹
mdslmd.4 𝐷 ∈ Cβ„‹
mdslmd1lem.5 𝑅 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 4228 . . . 4 (𝑅 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡))
21adantl 480 . . 3 (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡))
32imim1i 63 . 2 (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))))
4 simpllr 774 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐢 ∈ Cβ„‹
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ Cβ„‹
75, 6chub2i 31322 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢)
8 sstr 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
97, 8mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐢 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
109ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
1110ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
12 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐷)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐷)
1411, 13ssind 4227 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷))
15 ssin 4225 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ↔ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ Cβ„‹
175, 16chincli 31312 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∩ 𝐷) ∈ Cβ„‹
1817, 6chub2i 31322 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))
19 sstr 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2018, 19mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2115, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2221adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2322ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2414, 23ssind 4227 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))))
25 inss2 4224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† 𝐷
26 sstr 3981 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2725, 26mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2827ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2928ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
30 sstr 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3130ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3231ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3332adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3433adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
35 ssinss1 4232 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3635ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3736ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3834, 37jca 510 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ Cβ„‹
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ Cβ„‹
4139, 40chjcli 31309 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
426, 17, 41chlubi 31323 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4338, 42sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4429, 43jca 510 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
456, 5chjcli 31309 . . . . . . . . 9 (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∈ Cβ„‹
4645, 16chincli 31312 . . . . . . . 8 ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∈ Cβ„‹
476, 17chjcli 31309 . . . . . . . 8 (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∈ Cβ„‹
4846, 47, 41chlubi 31323 . . . . . . 7 ((((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4944, 48sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 32169 . . . . . 6 ((𝐡 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) ∧ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
52 inindir 4222 . . . . . . 7 (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))
53 sstr 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
5415, 53sylanb 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
5554ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
56 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
5755, 56ssind 4227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢))
58 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
5933, 58jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
606, 5, 41chlubi 31323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
6257, 61jca 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 32171 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6462, 63sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6564anassrs 466 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6665ineq1d 4205 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) = (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))
6752, 66eqtr2id 2778 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡))
6815biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
6968adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
7054, 69ssind 4227 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)))
7131adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7235ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7371, 72jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7473, 42sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7570, 74anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) ∧ ((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7675an4s 658 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 32171 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
7876, 77sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
7978anassrs 466 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
80 inindir 4222 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))
8281oveq2d 7431 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))))
8379, 82eqtr2d 2766 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡))
8467, 83sseq12d 4006 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
8551, 84bitr4d 281 . . . 4 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))))
8685exbiri 809 . . 3 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ ((((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
883, 87syl5 34 1 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415   Cβ„‹ cch 30781   βˆ¨β„‹ chj 30785   𝑀ℋ cmd 30818   𝑀ℋ* cdmd 30819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937  ax-hcompl 31054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ssp 30574  df-ph 30665  df-cbn 30715  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825  df-sh 31059  df-ch 31073  df-oc 31104  df-ch0 31105  df-shs 31160  df-chj 31162  df-md 32132  df-dmd 32133
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  32180
  Copyright terms: Public domain W3C validator