HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdslmd1lem2 31574
Description: Lemma for mdslmd1i 31577. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
mdslmd.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
mdslmd.3 𝐢 ∈ Cβ„‹
mdslmd.4 𝐷 ∈ Cβ„‹
mdslmd1lem.5 𝑅 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 4233 . . . 4 (𝑅 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡))
21adantl 482 . . 3 (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡))
32imim1i 63 . 2 (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))))
4 simpllr 774 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐢 ∈ Cβ„‹
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ Cβ„‹
75, 6chub2i 30718 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢)
8 sstr 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
97, 8mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐢 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
109ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
1110ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
12 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐷)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐷)
1411, 13ssind 4232 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷))
15 ssin 4230 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ↔ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ Cβ„‹
175, 16chincli 30708 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∩ 𝐷) ∈ Cβ„‹
1817, 6chub2i 30718 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))
19 sstr 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2018, 19mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2115, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2322ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2414, 23ssind 4232 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))))
25 inss2 4229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† 𝐷
26 sstr 3990 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2725, 26mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2827ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2928ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
30 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3130ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3231ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3332adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3433adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
35 ssinss1 4237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3635ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3736ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3834, 37jca 512 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ Cβ„‹
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ Cβ„‹
4139, 40chjcli 30705 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
426, 17, 41chlubi 30719 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4338, 42sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4429, 43jca 512 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
456, 5chjcli 30705 . . . . . . . . 9 (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∈ Cβ„‹
4645, 16chincli 30708 . . . . . . . 8 ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∈ Cβ„‹
476, 17chjcli 30705 . . . . . . . 8 (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∈ Cβ„‹
4846, 47, 41chlubi 30719 . . . . . . 7 ((((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4944, 48sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 31565 . . . . . 6 ((𝐡 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) ∧ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
52 inindir 4227 . . . . . . 7 (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))
53 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
5415, 53sylanb 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
5554ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
56 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
5755, 56ssind 4232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢))
58 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
5933, 58jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
606, 5, 41chlubi 30719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
6257, 61jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 31567 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6462, 63sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6564anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6665ineq1d 4211 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) = (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))
6752, 66eqtr2id 2785 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡))
6815biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
7054, 69ssind 4232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)))
7131adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7235ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7371, 72jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7473, 42sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7570, 74anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) ∧ ((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7675an4s 658 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 31567 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
7876, 77sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
7978anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
80 inindir 4227 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))
8281oveq2d 7424 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))))
8379, 82eqtr2d 2773 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡))
8467, 83sseq12d 4015 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
8551, 84bitr4d 281 . . . 4 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))))
8685exbiri 809 . . 3 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ ((((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
883, 87syl5 34 1 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408   Cβ„‹ cch 30177   βˆ¨β„‹ chj 30181   𝑀ℋ cmd 30214   𝑀ℋ* cdmd 30215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-shs 30556  df-chj 30558  df-md 31528  df-dmd 31529
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  31576
  Copyright terms: Public domain W3C validator