HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem2 32354
Description: Lemma for mdslmd1i 32357. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))

Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 4249 . . . 4 (𝑅𝐷 → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
21adantl 481 . . 3 (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
32imim1i 63 . 2 (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
4 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅C
75, 6chub2i 31498 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)
8 sstr 4003 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
97, 8mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
109ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
1110ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
12 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
1312ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐷)
1411, 13ssind 4248 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷))
15 ssin 4246 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷C
175, 16chincli 31488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐷) ∈ C
1817, 6chub2i 31498 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))
19 sstr 4003 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2018, 19mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2115, 20sylbi 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2322ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2414, 23ssind 4248 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))))
25 inss2 4245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
26 sstr 4003 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2827ad2antll 729 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2928ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
30 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231ad2ant2l 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
35 ssinss1 4253 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3635ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3736ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3834, 37jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
4139, 40chjcli 31485 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
426, 17, 41chlubi 31499 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4338, 42sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4429, 43jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
456, 5chjcli 31485 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐶) ∈ C
4645, 16chincli 31488 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
476, 17chjcli 31485 . . . . . . . 8 (𝑅 (𝐶𝐷)) ∈ C
4846, 47, 41chlubi 31499 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
4944, 48sylib 218 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 32345 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))) ∧ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
52 inindir 4243 . . . . . . 7 (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
53 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5415, 53sylanb 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5554ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝑅)
56 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐶)
5755, 56ssind 4248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅𝐶))
58 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
5933, 58jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
606, 5, 41chlubi 31499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6159, 60sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6257, 61jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 32347 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6462, 63sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6564anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6665ineq1d 4226 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
6752, 66eqtr2id 2787 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
6815biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
7054, 69ssind 4248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)))
7131adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
7235ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7371, 72jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7473, 42sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
7570, 74anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) ∧ ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7675an4s 660 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 32347 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7876, 77sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7978anassrs 467 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
80 inindir 4243 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8281oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8379, 82eqtr2d 2775 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8467, 83sseq12d 4028 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
8551, 84bitr4d 282 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
8685exbiri 811 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
883, 87syl5 34 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430   C cch 30957   chj 30961   𝑀 cmd 30994   𝑀* cdmd 30995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-chj 31338  df-md 32308  df-dmd 32309
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  32356
  Copyright terms: Public domain W3C validator