HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdslmd1lem2 32088
Description: Lemma for mdslmd1i 32091. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
mdslmd.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
mdslmd.3 𝐢 ∈ Cβ„‹
mdslmd.4 𝐷 ∈ Cβ„‹
mdslmd1lem.5 𝑅 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 4228 . . . 4 (𝑅 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡))
21adantl 481 . . 3 (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡))
32imim1i 63 . 2 (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))))
4 simpllr 773 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐢 ∈ Cβ„‹
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ Cβ„‹
75, 6chub2i 31232 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢)
8 sstr 3985 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
97, 8mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐢 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
109ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
1110ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢))
12 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐷)
1312ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐷)
1411, 13ssind 4227 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷))
15 ssin 4225 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ↔ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ Cβ„‹
175, 16chincli 31222 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∩ 𝐷) ∈ Cβ„‹
1817, 6chub2i 31232 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))
19 sstr 3985 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2018, 19mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2115, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2322ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))
2414, 23ssind 4227 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))))
25 inss2 4224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† 𝐷
26 sstr 3985 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2725, 26mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2827ad2antll 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
2928ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
30 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3130ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3231ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3332adantll 711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3433adantll 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
35 ssinss1 4232 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3635ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3736ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
3834, 37jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ Cβ„‹
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ Cβ„‹
4139, 40chjcli 31219 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
426, 17, 41chlubi 31233 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4338, 42sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4429, 43jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
456, 5chjcli 31219 . . . . . . . . 9 (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∈ Cβ„‹
4645, 16chincli 31222 . . . . . . . 8 ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∈ Cβ„‹
476, 17chjcli 31219 . . . . . . . 8 (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∈ Cβ„‹
4846, 47, 41chlubi 31233 . . . . . . 7 ((((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4944, 48sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 32079 . . . . . 6 ((𝐡 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) ∧ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βˆ¨β„‹ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷))) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
52 inindir 4222 . . . . . . 7 (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))
53 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
5415, 53sylanb 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
5554ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑅)
56 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
5755, 56ssind 4227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢))
58 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
5933, 58jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
606, 5, 41chlubi 31233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
6257, 61jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 32081 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ 𝐢) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6462, 63sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6564anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)))
6665ineq1d 4206 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) = (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))
6752, 66eqtr2id 2779 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡))
6815biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐢 ∩ 𝐷))
7054, 69ssind 4227 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)))
7131adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7235ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7371, 72jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7473, 42sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
7570, 74anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅) ∧ ((𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7675an4s 657 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 32081 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† (𝑅 ∩ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∧ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
7876, 77sylan2 592 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
7978anassrs 467 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)))
80 inindir 4222 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) = ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))
8281oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐷) ∩ 𝐡)) = ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))))
8379, 82eqtr2d 2767 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡))
8467, 83sseq12d 4010 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ ((((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) ↔ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) ∩ 𝐡) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐡)))
8551, 84bitr4d 282 . . . 4 ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) ∧ ((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷)) β†’ (((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))))
8685exbiri 808 . . 3 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ ((((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
883, 87syl5 34 1 (((𝐴 𝑀ℋ 𝐡 ∧ 𝐡 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝐷 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐡) β†’ (((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐡)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)) βŠ† ((𝑅 ∩ 𝐡) βˆ¨β„‹ ((𝐢 ∩ 𝐡) ∩ (𝐷 ∩ 𝐡)))) β†’ (((𝐢 ∩ 𝐷) βŠ† 𝑅 ∧ 𝑅 βŠ† 𝐷) β†’ ((𝑅 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∩ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 ∩ 𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405   Cβ„‹ cch 30691   βˆ¨β„‹ chj 30695   𝑀ℋ cmd 30728   𝑀ℋ* cdmd 30729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-chj 31072  df-md 32042  df-dmd 32043
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  32090
  Copyright terms: Public domain W3C validator