HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1i 30022
Description: Preservation of the modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2 (meet version). (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mdslmd1i
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssin 4210 . . 3 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
2 mdslmd.3 . . . 4 𝐶C
3 mdslmd.4 . . . 4 𝐷C
4 mdslmd.1 . . . . 5 𝐴C
5 mdslmd.2 . . . . 5 𝐵C
64, 5chjcli 29150 . . . 4 (𝐴 𝐵) ∈ C
72, 3, 6chlubi 29164 . . 3 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
81, 7anbi12i 626 . 2 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ↔ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
9 chjcl 29050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥 𝐴) ∈ C )
104, 9mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥 𝐴) ∈ C )
11 sseq1 3995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 𝐴) → (𝑦𝐷 ↔ (𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷))
12 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 𝐴) → (𝑦 𝐶) = ((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶))
1312ineq1d 4191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 𝐴) → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) = (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
14 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 𝐴) → (𝑦 (𝐶𝐷)) = ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))
1513, 14sseq12d 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 𝐴) → (((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
1611, 15imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 𝐴) → ((𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) ↔ ((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
1716rspcv 3621 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝐴) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → ((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → ((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → ((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
204, 5, 2, 3mdslmd1lem3 30020 . . . . . . . 8 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
2119, 20syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
2221ex 413 . . . . . 6 (𝑥C → (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))))
2322com3l 89 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → (𝑥C → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))))
2423ralrimdv 3192 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))) → ∀𝑥C ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
25 mdbr2 29989 . . . . 5 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷)))))
262, 3, 25mp2an 688 . . . 4 (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐷 → ((𝑦 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 (𝐶𝐷))))
272, 5chincli 29153 . . . . 5 (𝐶𝐵) ∈ C
283, 5chincli 29153 . . . . 5 (𝐷𝐵) ∈ C
2927, 28mdsl2i 30015 . . . 4 ((𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵) ↔ ∀𝑥C ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
3024, 26, 293imtr4g 297 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (𝐶 𝑀 𝐷 → (𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵)))
31 chincl 29192 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥𝐵) ∈ C )
325, 31mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥𝐵) ∈ C )
33 sseq1 3995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) ↔ (𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵)))
34 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦 (𝐶𝐵)) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
3534ineq1d 4191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
36 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
3735, 36sseq12d 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
3833, 37imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
3938rspcv 3621 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → ((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
4032, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → ((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → ((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
424, 5, 2, 3mdslmd1lem4 30021 . . . . . . . 8 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
4341, 42syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
4443ex 413 . . . . . 6 (𝑥C → (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))))
4544com3l 89 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (𝑥C → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))))
4645ralrimdv 3192 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → ∀𝑥C (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
47 mdbr2 29989 . . . . 5 (((𝐶𝐵) ∈ C ∧ (𝐷𝐵) ∈ C ) → ((𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
4827, 28, 47mp2an 688 . . . 4 ((𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (𝐷𝐵) → ((𝑦 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑦 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
492, 3mdsl2i 30015 . . . 4 (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
5046, 48, 493imtr4g 297 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))
5130, 50impbid 213 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵)))
528, 51sylan2br 594 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀 (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  cin 3938  wss 3939   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151   C cch 28622   chj 28626   𝑀 cmd 28659   𝑀* cdmd 28660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28692  ax-hfvadd 28693  ax-hvcom 28694  ax-hvass 28695  ax-hv0cl 28696  ax-hvaddid 28697  ax-hfvmul 28698  ax-hvmulid 28699  ax-hvmulass 28700  ax-hvdistr1 28701  ax-hvdistr2 28702  ax-hvmul0 28703  ax-hfi 28772  ax-his1 28775  ax-his2 28776  ax-his3 28777  ax-his4 28778  ax-hcompl 28895
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-lm 21755  df-haus 21841  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cfil 23775  df-cau 23776  df-cmet 23777  df-grpo 28186  df-gid 28187  df-ginv 28188  df-gdiv 28189  df-ablo 28238  df-vc 28252  df-nv 28285  df-va 28288  df-ba 28289  df-sm 28290  df-0v 28291  df-vs 28292  df-nmcv 28293  df-ims 28294  df-dip 28394  df-ssp 28415  df-ph 28506  df-cbn 28556  df-hnorm 28661  df-hba 28662  df-hvsub 28664  df-hlim 28665  df-hcau 28666  df-sh 28900  df-ch 28914  df-oc 28945  df-ch0 28946  df-shs 29001  df-chj 29003  df-md 29973  df-dmd 29974
This theorem is referenced by:  mdslmd2i  30023  mdcompli  30122
  Copyright terms: Public domain W3C validator