HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem1 30351
Description: Lemma for mdsymi 30359. (Contributed by NM, 1-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem1 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝑝𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem1
StepHypRef Expression
1 mdsymlem1.1 . . . . . . 7 𝐴C
2 chub2 29456 . . . . . . 7 ((𝑝C𝐴C ) → 𝑝 ⊆ (𝐴 𝑝))
31, 2mpan2 691 . . . . . 6 (𝑝C𝑝 ⊆ (𝐴 𝑝))
4 mdsymlem1.3 . . . . . 6 𝐶 = (𝐴 𝑝)
53, 4sseqtrrdi 3938 . . . . 5 (𝑝C𝑝𝐶)
6 mdsymlem1.2 . . . . . . . 8 𝐵C
71, 6chjcomi 29416 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
87sseq2i 3916 . . . . . 6 (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴))
98biimpi 219 . . . . 5 (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴))
105, 9anim12i 616 . . . 4 ((𝑝C𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑝𝐶𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)))
11 ssin 4131 . . . 4 ((𝑝𝐶𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
1210, 11sylib 221 . . 3 ((𝑝C𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
1312ad2ant2rl 749 . 2 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
14 chjcl 29305 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑝C ) → (𝐴 𝑝) ∈ C )
151, 14mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑝C → (𝐴 𝑝) ∈ C )
164, 15eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (𝑝C𝐶C )
1716adantr 484 . . . . . 6 ((𝑝C𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐶C )
18 chub1 29455 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝑝C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑝))
191, 18mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝑝C𝐴 ⊆ (𝐴 𝑝))
2019, 4sseqtrrdi 3938 . . . . . . . 8 (𝑝C𝐴𝐶)
2120anim2i 620 . . . . . . 7 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝑝C ) → (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶))
2221ancoms 462 . . . . . 6 ((𝑝C𝐵 𝑀* 𝐴) → (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶))
23 dmdi 30250 . . . . . . . 8 (((𝐵C𝐴C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
246, 23mp3anl1 1456 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
251, 24mpanl1 700 . . . . . 6 ((𝐶C ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
2617, 22, 25syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑝C𝐵 𝑀* 𝐴) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
2726adantlr 715 . . . 4 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀* 𝐴) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)))
28 incom 4101 . . . . . . 7 (𝐶𝐵) = (𝐵𝐶)
2928oveq1i 7193 . . . . . 6 ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐵𝐶) ∨ 𝐴)
30 chincl 29447 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵𝐶) ∈ C )
316, 30mpan 690 . . . . . . . 8 (𝐶C → (𝐵𝐶) ∈ C )
32 chlejb1 29460 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐶) ∈ C𝐴C ) → ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵𝐶) ∨ 𝐴) = 𝐴))
331, 32mpan2 691 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶) ∈ C → ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵𝐶) ∨ 𝐴) = 𝐴))
3416, 31, 333syl 18 . . . . . . 7 (𝑝C → ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵𝐶) ∨ 𝐴) = 𝐴))
3534biimpa 480 . . . . . 6 ((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) → ((𝐵𝐶) ∨ 𝐴) = 𝐴)
3629, 35syl5eq 2786 . . . . 5 ((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴)
3736adantr 484 . . . 4 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀* 𝐴) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴)
3827, 37eqtr3d 2776 . . 3 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀* 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐴)
3938adantrr 717 . 2 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐴)
4013, 39sseqtrd 3927 1 (((𝑝C ∧ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝑝𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3852  wss 3853   class class class wbr 5040  (class class class)co 7183   C cch 28877   chj 28881   𝑀* cdmd 28915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708  ax-hilex 28947  ax-hfvadd 28948  ax-hvcom 28949  ax-hvass 28950  ax-hv0cl 28951  ax-hvaddid 28952  ax-hfvmul 28953  ax-hvmulid 28954  ax-hvmulass 28955  ax-hvdistr1 28956  ax-hvdistr2 28957  ax-hvmul0 28958  ax-hfi 29027  ax-his1 29030  ax-his2 29031  ax-his3 29032  ax-his4 29033  ax-hcompl 29150
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-omul 8149  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-acn 9457  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-lm 21993  df-haus 22079  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-cfil 24020  df-cau 24021  df-cmet 24022  df-grpo 28441  df-gid 28442  df-ginv 28443  df-gdiv 28444  df-ablo 28493  df-vc 28507  df-nv 28540  df-va 28543  df-ba 28544  df-sm 28545  df-0v 28546  df-vs 28547  df-nmcv 28548  df-ims 28549  df-dip 28649  df-ssp 28670  df-ph 28761  df-cbn 28811  df-hnorm 28916  df-hba 28917  df-hvsub 28919  df-hlim 28920  df-hcau 28921  df-sh 29155  df-ch 29169  df-oc 29200  df-ch0 29201  df-shs 29256  df-chj 29258  df-dmd 30229
This theorem is referenced by:  mdsymlem2  30352
  Copyright terms: Public domain W3C validator