Theorem mdsymlem1 32394

Description: Lemma for mdsymi 32402. (Contributed by NM, 1-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem1	⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝑝 ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chub2 31499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
3	1, 2	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
4		mdsymlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)
5	3, 4	sseqtrrdi 3973	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ 𝐶)
6		mdsymlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
7	1, 6	chjcomi 31459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
8	7	sseq2i 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
10	5, 9	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑝 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
11		ssin 4190	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
13	12	ad2ant2rl 749	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
14		chjcl 31348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
15	1, 14	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
16	4, 15	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Cℋ )
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐶 ∈ Cℋ )
18		chub1 31498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
19	1, 18	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
20	19, 4	sseqtrrdi 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ 𝐶)
21	20	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
22	21	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
23		dmdi 32293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
24	6, 23	mp3anl1 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
25	1, 24	mpanl1 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
26	17, 22, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
27	26	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
28		incom 4160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐶)
29	28	oveq1i 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴)
30		chincl 31490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
31	6, 30	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
32		chlejb1 31503	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴))
33	1, 32	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴))
34	16, 31, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴))
35	34	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
36	29, 35	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
38	27, 37	eqtr3d 2770	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐴)
39	38	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐴)
40	13, 39	sseqtrd 3968	1 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝑝 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355   C_ℋ cch 30920   ∨_ℋ chj 30924   𝑀_ℋ^* cdmd 30958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cc 10336  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095  ax-mulf 11096  ax-hilex 30990  ax-hfvadd 30991  ax-hvcom 30992  ax-hvass 30993  ax-hv0cl 30994  ax-hvaddid 30995  ax-hfvmul 30996  ax-hvmulid 30997  ax-hvmulass 30998  ax-hvdistr1 30999  ax-hvdistr2 31000  ax-hvmul0 31001  ax-hfi 31070  ax-his1 31073  ax-his2 31074  ax-his3 31075  ax-his4 31076  ax-hcompl 31193

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-card 9842  df-acn 9845  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-sum 15604  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-rest 17336  df-topn 17337  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-pt 17358  df-prds 17361  df-xrs 17416  df-qtop 17421  df-imas 17422  df-xps 17424  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-lm 23154  df-haus 23240  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24245  df-ms 24246  df-tms 24247  df-cfil 25192  df-cau 25193  df-cmet 25194  df-grpo 30484  df-gid 30485  df-ginv 30486  df-gdiv 30487  df-ablo 30536  df-vc 30550  df-nv 30583  df-va 30586  df-ba 30587  df-sm 30588  df-0v 30589  df-vs 30590  df-nmcv 30591  df-ims 30592  df-dip 30692  df-ssp 30713  df-ph 30804  df-cbn 30854  df-hnorm 30959  df-hba 30960  df-hvsub 30962  df-hlim 30963  df-hcau 30964  df-sh 31198  df-ch 31212  df-oc 31243  df-ch0 31244  df-shs 31299  df-chj 31301  df-dmd 32272

This theorem is referenced by:  mdsymlem2  32395