Theorem mdsymlem1 32381

Description: Lemma for mdsymi 32389. (Contributed by NM, 1-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem1	⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝑝 ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chub2 31486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
3	1, 2	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
4		mdsymlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)
5	3, 4	sseqtrrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ 𝐶)
6		mdsymlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
7	1, 6	chjcomi 31446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
8	7	sseq2i 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
10	5, 9	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑝 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
11		ssin 4189	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
13	12	ad2ant2rl 749	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝑝 ⊆ (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
14		chjcl 31335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
15	1, 14	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
16	4, 15	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Cℋ )
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐶 ∈ Cℋ )
18		chub1 31485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
19	1, 18	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
20	19, 4	sseqtrrdi 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ 𝐶)
21	20	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
22	21	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
23		dmdi 32280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
24	6, 23	mp3anl1 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
25	1, 24	mpanl1 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
26	17, 22, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
27	26	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
28		incom 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐶)
29	28	oveq1i 7356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴)
30		chincl 31477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
31	6, 30	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
32		chlejb1 31490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴))
33	1, 32	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴))
34	16, 31, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴))
35	34	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ((𝐵 ∩ 𝐶) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
36	29, 35	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
38	27, 37	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐴)
39	38	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐴)
40	13, 39	sseqtrd 3971	1 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝑝 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346   C_ℋ cch 30907   ∨_ℋ chj 30911   𝑀_ℋ^* cdmd 30945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30977  ax-hfvadd 30978  ax-hvcom 30979  ax-hvass 30980  ax-hv0cl 30981  ax-hvaddid 30982  ax-hfvmul 30983  ax-hvmulid 30984  ax-hvmulass 30985  ax-hvdistr1 30986  ax-hvdistr2 30987  ax-hvmul0 30988  ax-hfi 31057  ax-his1 31060  ax-his2 31061  ax-his3 31062  ax-his4 31063  ax-hcompl 31180

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30471  df-gid 30472  df-ginv 30473  df-gdiv 30474  df-ablo 30523  df-vc 30537  df-nv 30570  df-va 30573  df-ba 30574  df-sm 30575  df-0v 30576  df-vs 30577  df-nmcv 30578  df-ims 30579  df-dip 30679  df-ssp 30700  df-ph 30791  df-cbn 30841  df-hnorm 30946  df-hba 30947  df-hvsub 30949  df-hlim 30950  df-hcau 30951  df-sh 31185  df-ch 31199  df-oc 31230  df-ch0 31231  df-shs 31286  df-chj 31288  df-dmd 32259

This theorem is referenced by:  mdsymlem2  32382