HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem6 32436
Description: Lemma for mdsymi 32439. This is the converse direction of Lemma 4(i) of [Maeda] p. 168, and is based on the proof of Theorem 1(d) to (e) of [Maeda] p. 167. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem6 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem6
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
2 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵C
31, 2chjcomi 31496 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
43sseq2i 4024 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴))
54anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)))
6 ssin 4246 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)))
75, 6bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)))
8 mdsymlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝐴 𝑝)
91, 2, 8mdsymlem5 32435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
10 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴𝑝𝐴))
11 chincl 31527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑐C𝐵C ) → (𝑐𝐵) ∈ C )
122, 11mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐C → (𝑐𝐵) ∈ C )
13 chub2 31536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) → 𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
141, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐C𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
15 sstr2 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝𝐴 → (𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1614, 15syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝𝐴 → (𝑐C𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1710, 16biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴 → (𝑐C𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
1817impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝𝑐 → (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2019com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞𝐴𝑐C ) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2120adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞𝐴 ∧ (𝑐C𝐴𝑐)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2221ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑞𝐴𝑟𝐵) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2322adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2423com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2524expd 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
269, 25pm2.61d2 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
2726rexlimivv 3198 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2928imim2d 57 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
3029com34 91 . . . . . . . . . 10 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝𝑐 → (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
3130imp4b 421 . . . . . . . . 9 ((((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))) → ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
327, 31biimtrrid 243 . . . . . . . 8 ((((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))) → (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
3332ex 412 . . . . . . 7 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
3433ralimdva 3164 . . . . . 6 ((𝑐C𝐴𝑐) → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
352, 1chjcli 31485 . . . . . . . . 9 (𝐵 𝐴) ∈ C
36 chincl 31527 . . . . . . . . 9 ((𝑐C ∧ (𝐵 𝐴) ∈ C ) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C )
3735, 36mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑐C → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C )
38 chjcl 31385 . . . . . . . . 9 (((𝑐𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C )
3912, 1, 38sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑐C → ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C )
40 chrelat3 32399 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C ∧ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C ) → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑐C → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4241adantr 480 . . . . . 6 ((𝑐C𝐴𝑐) → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4334, 42sylibrd 259 . . . . 5 ((𝑐C𝐴𝑐) → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
4443ex 412 . . . 4 (𝑐C → (𝐴𝑐 → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4544com3r 87 . . 3 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐C → (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4645ralrimiv 3142 . 2 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
47 dmdbr2 32331 . . 3 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
482, 1, 47mp2an 692 . 2 (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
4946, 48sylibr 234 1 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430   C cch 30957   chj 30961  HAtomscat 30993   𝑀* cdmd 30995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cv 32307  df-dmd 32309  df-at 32366
This theorem is referenced by:  mdsymlem7  32437
  Copyright terms: Public domain W3C validator