HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem6 31699
Description: Lemma for mdsymi 31702. This is the converse direction of Lemma 4(i) of [Maeda] p. 168, and is based on the proof of Theorem 1(d) to (e) of [Maeda] p. 167. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem6 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem6
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
2 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵C
31, 2chjcomi 30759 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
43sseq2i 4011 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴))
54anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)))
6 ssin 4230 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)))
75, 6bitri 274 . . . . . . . . 9 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)))
8 mdsymlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝐴 𝑝)
91, 2, 8mdsymlem5 31698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
10 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴𝑝𝐴))
11 chincl 30790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑐C𝐵C ) → (𝑐𝐵) ∈ C )
122, 11mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐C → (𝑐𝐵) ∈ C )
13 chub2 30799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) → 𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
141, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐C𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
15 sstr2 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝𝐴 → (𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1614, 15syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝𝐴 → (𝑐C𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1710, 16syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴 → (𝑐C𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
1817impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝𝑐 → (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2019com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞𝐴𝑐C ) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2120adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞𝐴 ∧ (𝑐C𝐴𝑐)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2221ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑞𝐴𝑟𝐵) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2322adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2423com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2524expd 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
269, 25pm2.61d2 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
2726rexlimivv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2928imim2d 57 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
3029com34 91 . . . . . . . . . 10 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝𝑐 → (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
3130imp4b 422 . . . . . . . . 9 ((((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))) → ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
327, 31biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))) → (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
3332ex 413 . . . . . . 7 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
3433ralimdva 3167 . . . . . 6 ((𝑐C𝐴𝑐) → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
352, 1chjcli 30748 . . . . . . . . 9 (𝐵 𝐴) ∈ C
36 chincl 30790 . . . . . . . . 9 ((𝑐C ∧ (𝐵 𝐴) ∈ C ) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C )
3735, 36mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝑐C → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C )
38 chjcl 30648 . . . . . . . . 9 (((𝑐𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C )
3912, 1, 38sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑐C → ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C )
40 chrelat3 31662 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C ∧ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C ) → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑐C → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4241adantr 481 . . . . . 6 ((𝑐C𝐴𝑐) → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4334, 42sylibrd 258 . . . . 5 ((𝑐C𝐴𝑐) → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
4443ex 413 . . . 4 (𝑐C → (𝐴𝑐 → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4544com3r 87 . . 3 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐C → (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4645ralrimiv 3145 . 2 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
47 dmdbr2 31594 . . 3 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
482, 1, 47mp2an 690 . 2 (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
4946, 48sylibr 233 1 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411   C cch 30220   chj 30224  HAtomscat 30256   𝑀* cdmd 30258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-span 30600  df-chj 30601  df-chsup 30602  df-pjh 30686  df-cv 31570  df-dmd 31572  df-at 31629
This theorem is referenced by:  mdsymlem7  31700
  Copyright terms: Public domain W3C validator