MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subislly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subislly 21773
Description: The property of a subspace being locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝐴   𝑢,𝐵,𝑥,𝑦   𝑢,𝐽,𝑥,𝑦   𝑢,𝑉,𝑥,𝑦

Proof of Theorem subislly
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 21452 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝐽t 𝐵) ∈ Top)
2 islly 21760 . . . 4 ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ((𝐽t 𝐵) ∈ Top ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
32baib 536 . . 3 ((𝐽t 𝐵) ∈ Top → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
5 vex 3440 . . . . 5 𝑥 ∈ V
65inex1 5112 . . . 4 (𝑥𝐵) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐵) ∈ V)
8 elrest 16530 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝑧 = (𝑥𝐵)))
9 simpr 485 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → 𝑧 = (𝑥𝐵))
109raleqdv 3375 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
11 rexin 4136 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵)(𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
12 vex 3440 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
1312inex1 5112 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑢𝐽) → (𝑢𝐵) ∈ V)
15 elrest 16530 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝑤 = (𝑢𝐵)))
1615ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝑤 = (𝑢𝐵)))
17 3anass 1088 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑤 = (𝑢𝐵))
19 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑧 = (𝑥𝐵))
2018, 19sseq12d 3921 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵)))
21 selpw 4460 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑤𝑧)
22 inss2 4126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵
2322biantru 530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵))
24 ssin 4127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵))
2523, 24bitri 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵))
2620, 21, 253bitr4g 315 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ 𝑥))
2718eleq2d 2868 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝑢𝐵)))
28 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐵))
2928elin2d 4097 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑦𝐵)
3029biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑢 ↔ (𝑦𝑢𝑦𝐵)))
31 elin 4090 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑢𝐵) ↔ (𝑦𝑢𝑦𝐵))
3230, 31syl6bbr 290 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑢𝐵)))
3327, 32bitr4d 283 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑤𝑦𝑢))
3418oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) = ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)))
35 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
3622a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵)
37 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → 𝐵𝑉)
3837ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝐵𝑉)
39 restabs 21457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4035, 36, 38, 39syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4134, 40eqtrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4241eleq1d 2867 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴))
4326, 33, 423anbi123d 1428 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4417, 43syl5bbr 286 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4514, 16, 44rexxfr2d 5203 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵)(𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4611, 45syl5bb 284 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4746ralbidva 3163 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4810, 47bitrd 280 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
497, 8, 48ralxfr2d 5202 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
504, 49bitrd 280 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  cin 3858  wss 3859  𝒫 cpw 4453  (class class class)co 7016  t crest 16523  Topctop 21185  Locally clly 21756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-fin 8361  df-fi 8721  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-top 21186  df-bases 21238  df-lly 21758
This theorem is referenced by:  iccllysconn  32105
  Copyright terms: Public domain W3C validator