MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subislly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subislly 21564
Description: The property of a subspace being locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝐴   𝑢,𝐵,𝑥,𝑦   𝑢,𝐽,𝑥,𝑦   𝑢,𝑉,𝑥,𝑦

Proof of Theorem subislly
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 21244 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝐽t 𝐵) ∈ Top)
2 islly 21551 . . . 4 ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ((𝐽t 𝐵) ∈ Top ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
32baib 531 . . 3 ((𝐽t 𝐵) ∈ Top → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
5 vex 3353 . . . . 5 𝑥 ∈ V
65inex1 4960 . . . 4 (𝑥𝐵) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐵) ∈ V)
8 elrest 16354 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝑧 = (𝑥𝐵)))
9 simpr 477 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → 𝑧 = (𝑥𝐵))
109raleqdv 3292 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
11 elin 3958 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧))
1211anbi1i 617 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
13 anass 460 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴))))
1412, 13bitri 266 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴))))
1514rexbii2 3186 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵)(𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
16 vex 3353 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
1716inex1 4960 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵) ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑢𝐽) → (𝑢𝐵) ∈ V)
19 elrest 16354 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝑤 = (𝑢𝐵)))
2019ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝑤 = (𝑢𝐵)))
21 3anass 1116 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
22 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑤 = (𝑢𝐵))
23 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑧 = (𝑥𝐵))
2422, 23sseq12d 3794 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵)))
25 selpw 4322 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑤𝑧)
26 inss2 3993 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵
2726biantru 525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵))
28 ssin 3994 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵))
2927, 28bitri 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵))
3024, 25, 293bitr4g 305 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ 𝑥))
3122eleq2d 2830 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝑢𝐵)))
32 inss2 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
33 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐵))
3432, 33sseldi 3759 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑦𝐵)
3534biantrud 527 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑢 ↔ (𝑦𝑢𝑦𝐵)))
36 elin 3958 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑢𝐵) ↔ (𝑦𝑢𝑦𝐵))
3735, 36syl6bbr 280 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑢𝐵)))
3831, 37bitr4d 273 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑤𝑦𝑢))
3922oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) = ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)))
40 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
4126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵)
42 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → 𝐵𝑉)
4342ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝐵𝑉)
44 restabs 21249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4639, 45eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4746eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴))
4830, 38, 473anbi123d 1560 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4921, 48syl5bbr 276 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5018, 20, 49rexxfr2d 5046 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵)(𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5115, 50syl5bb 274 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5251ralbidva 3132 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5310, 52bitrd 270 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
547, 8, 53ralxfr2d 5045 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
554, 54bitrd 270 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  𝒫 cpw 4315  (class class class)co 6842  t crest 16347  Topctop 20977  Locally clly 21547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-fin 8164  df-fi 8524  df-rest 16349  df-topgen 16370  df-top 20978  df-bases 21030  df-lly 21549
This theorem is referenced by:  iccllysconn  31680
  Copyright terms: Public domain W3C validator