Theorem dochexmidlem1 41161

Description: Lemma for dochexmid 41169. Holland's proof implicitly requires 𝑞 ≠ 𝑟, which we prove here. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem1.pp	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ 𝐴)
dochexmidlem1.qq	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ 𝐴)
dochexmidlem1.rr	⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝐴)
dochexmidlem1.ql	⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
dochexmidlem1.rl	⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem1	⊢ (𝜑 → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem dochexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		dochexmidlem1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
3		dochexmidlem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochexmidlem1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochexmidlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 40811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		dochexmidlem1.rr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝐴)
8	1, 2, 6, 7	lsatn0 38699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ≠ {(0g‘𝑈)})
9		dochexmidlem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10	9, 2, 6, 7	lsatlssel 38697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝑆)
11	1, 9	lssle0 20929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑟 ⊆ {(0g‘𝑈)} ↔ 𝑟 = {(0g‘𝑈)}))
12	6, 10, 11	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ⊆ {(0g‘𝑈)} ↔ 𝑟 = {(0g‘𝑈)}))
13	12	necon3bbid 2968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑟 ⊆ {(0g‘𝑈)} ↔ 𝑟 ≠ {(0g‘𝑈)}))
14	8, 13	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑟 ⊆ {(0g‘𝑈)})
15		dochexmidlem1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
16		dochexmidlem1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
17	3, 4, 9, 1, 16	dochnoncon 41092	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = {(0g‘𝑈)})
18	5, 15, 17	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = {(0g‘𝑈)})
19	18	sseq2d 4012	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ⊆ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ 𝑟 ⊆ {(0g‘𝑈)}))
20	14, 19	mtbird 324	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑟 ⊆ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
21		dochexmidlem1.ql	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
22		sseq1 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑟 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
23	21, 22	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
24		dochexmidlem1.rl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
25	23, 24	jctild 524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑟 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))))
26		ssin 4232	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑟 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ 𝑟 ⊆ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
27	25, 26	imbitrdi 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ⊆ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
28	27	necon3bd 2944	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑟 ⊆ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑟))
29	20, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  {csn 4633  ‘cfv 6556  Basecbs 17215  0_gc0g 17456  LSSumclsm 19634  LModclmod 20838  LSubSpclss 20910  LSpanclspn 20950  LSAtomsclsa 38674  HLchlt 39050  LHypclh 39685  DVecHcdvh 40779  ocHcoch 41048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-riotaBAD 38653

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-0g 17458  df-proset 18322  df-poset 18340  df-plt 18357  df-lub 18373  df-glb 18374  df-join 18375  df-meet 18376  df-p0 18452  df-p1 18453  df-lat 18459  df-clat 18526  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-subg 19119  df-cntz 19313  df-lsm 19636  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-oppr 20318  df-dvdsr 20341  df-unit 20342  df-invr 20372  df-dvr 20385  df-drng 20711  df-lmod 20840  df-lss 20911  df-lsp 20951  df-lvec 21083  df-lsatoms 38676  df-oposet 38876  df-ol 38878  df-oml 38879  df-covers 38966  df-ats 38967  df-atl 38998  df-cvlat 39022  df-hlat 39051  df-llines 39199  df-lplanes 39200  df-lvols 39201  df-lines 39202  df-psubsp 39204  df-pmap 39205  df-padd 39497  df-lhyp 39689  df-laut 39690  df-ldil 39805  df-ltrn 39806  df-trl 39860  df-tendo 40456  df-edring 40458  df-disoa 40730  df-dvech 40780  df-dib 40840  df-dic 40874  df-dih 40930  df-doch 41049

This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  41163