Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmidlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochexmidlem1 40870
Description: Lemma for dochexmid 40878. Holland's proof implicitly requires π‘ž β‰  π‘Ÿ, which we prove here. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmidlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochexmidlem1.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochexmidlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochexmidlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochexmidlem1.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dochexmidlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dochexmidlem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dochexmidlem1.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
dochexmidlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem1.pp (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
dochexmidlem1.qq (πœ‘ β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
dochexmidlem1.rr (πœ‘ β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
dochexmidlem1.ql (πœ‘ β†’ π‘ž βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
dochexmidlem1.rl (πœ‘ β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dochexmidlem1 (πœ‘ β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)

Proof of Theorem dochexmidlem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . 5 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2 dochexmidlem1.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
3 dochexmidlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dochexmidlem1.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dochexmidlem1.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 40520 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 dochexmidlem1.rr . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
81, 2, 6, 7lsatn0 38408 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Ÿ β‰  {(0gβ€˜π‘ˆ)})
9 dochexmidlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
109, 2, 6, 7lsatlssel 38406 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑆)
111, 9lssle0 20823 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ βŠ† {(0gβ€˜π‘ˆ)} ↔ π‘Ÿ = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
126, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ βŠ† {(0gβ€˜π‘ˆ)} ↔ π‘Ÿ = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
1312necon3bbid 2973 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘Ÿ βŠ† {(0gβ€˜π‘ˆ)} ↔ π‘Ÿ β‰  {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
148, 13mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Ÿ βŠ† {(0gβ€˜π‘ˆ)})
15 dochexmidlem1.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
16 dochexmidlem1.o . . . . . 6 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
173, 4, 9, 1, 16dochnoncon 40801 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
185, 15, 17syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1918sseq2d 4010 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ βŠ† (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ↔ π‘Ÿ βŠ† {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
2014, 19mtbird 325 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Ÿ βŠ† (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
21 dochexmidlem1.ql . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ž βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
22 sseq1 4003 . . . . . 6 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ↔ π‘Ÿ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
2321, 22syl5ibcom 244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ π‘Ÿ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
24 dochexmidlem1.rl . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝑋)
2523, 24jctild 525 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Ÿ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
26 ssin 4226 . . . 4 ((π‘Ÿ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Ÿ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ↔ π‘Ÿ βŠ† (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
2725, 26imbitrdi 250 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2827necon3bd 2949 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘Ÿ βŠ† (𝑋 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ))
2920, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  {csn 4624  β€˜cfv 6542  Basecbs 17171  0gc0g 17412  LSSumclsm 19580  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  LSpanclspn 20844  LSAtomsclsa 38383  HLchlt 38759  LHypclh 39394  DVecHcdvh 40488  ocHcoch 40757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-lsatoms 38385  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639  df-doch 40758
This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  40872
  Copyright terms: Public domain W3C validator