HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdbr5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdbr5 29626
Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. (Contributed by NM, 15-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdbr5 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdbr4 29624 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2 chub1 28825 . . . . . . . . 9 ((𝑥C𝐵C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 𝐵))
32ancoms 450 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 𝐵))
4 ssin 3996 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
5 sstr2 3770 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
64, 5sylbi 208 . . . . . . . 8 ((𝑥 ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
73, 6sylan 575 . . . . . . 7 (((𝐵C𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
87ex 401 . . . . . 6 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
98com23 86 . . . . 5 ((𝐵C𝑥C ) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
109ralimdva 3109 . . . 4 (𝐵C → (∀𝑥C ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
1110adantl 473 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
121, 11sylbid 231 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 → ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
13 sseq1 3788 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
14 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
15 oveq1 6851 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 𝐵) = (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵))
1615ineq1d 3977 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
1716oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
1814, 17sseq12d 3796 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
1913, 18imbi12d 335 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
2019rspccv 3459 . . . . 5 (∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
21 chjcl 28675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C𝐵C ) → (𝑦 𝐵) ∈ C )
2221ancoms 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑦C ) → (𝑦 𝐵) ∈ C )
2322adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 𝐵) ∈ C )
24 chjcl 28675 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
2524adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
26 chincl 28817 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C )
2723, 25, 26syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C )
28 inss2 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)
29 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
3028, 29mpii 46 . . . . . . . . 9 (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
32 chub2 28826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝑦C ) → 𝐵 ⊆ (𝑦 𝐵))
3332adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → 𝐵 ⊆ (𝑦 𝐵))
34 chub2 28826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐴C ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵))
3534ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵))
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵))
3733, 36ssind 3998 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → 𝐵 ⊆ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
38 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → 𝐵C )
39 chlejb2 28831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C ∧ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C ) → (𝐵 ⊆ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
4038, 27, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝐵 ⊆ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
4137, 40mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) = ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
4241ineq1d 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐴))
43 inass 3985 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐴) = ((𝑦 𝐵) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐴))
44 incom 3969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐴 𝐵))
45 chabs2 28835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
4644, 45syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴)
4746ineq2d 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → ((𝑦 𝐵) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐴)) = ((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴))
4843, 47syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐴) = ((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴))
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐴) = ((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴))
5042, 49eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴))
5150oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
5251sseq2d 3795 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
5331, 52sylibd 230 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
5453ex 401 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑦C → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
5554com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → ((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C → (((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) → (𝑦C → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
5620, 55syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → (𝑦C → ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
5756ralrimdv 3115 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → ∀𝑦C ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
58 dmdbr4 29624 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑦C ((𝑦 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑦 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
5957, 58sylibrd 250 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → 𝐴 𝑀* 𝐵))
6012, 59impbid 203 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844   C cch 28245   chj 28249   𝑀* cdmd 28283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271  ax-hilex 28315  ax-hfvadd 28316  ax-hvcom 28317  ax-hvass 28318  ax-hv0cl 28319  ax-hvaddid 28320  ax-hfvmul 28321  ax-hvmulid 28322  ax-hvmulass 28323  ax-hvdistr1 28324  ax-hvdistr2 28325  ax-hvmul0 28326  ax-hfi 28395  ax-his1 28398  ax-his2 28399  ax-his3 28400  ax-his4 28401  ax-hcompl 28518
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-lm 21316  df-haus 21402  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cfil 23335  df-cau 23336  df-cmet 23337  df-grpo 27807  df-gid 27808  df-ginv 27809  df-gdiv 27810  df-ablo 27859  df-vc 27873  df-nv 27906  df-va 27909  df-ba 27910  df-sm 27911  df-0v 27912  df-vs 27913  df-nmcv 27914  df-ims 27915  df-dip 28015  df-ssp 28036  df-ph 28127  df-cbn 28178  df-hnorm 28284  df-hba 28285  df-hvsub 28287  df-hlim 28288  df-hcau 28289  df-sh 28523  df-ch 28537  df-oc 28568  df-ch0 28569  df-shs 28626  df-chj 28628  df-dmd 29599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator