Theorem dmdbr5 29781

Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. (Contributed by NM, 15-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdbr5	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdbr4 29779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
2		chub1 28980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))
3	2	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))
4		ssin 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
5		sstr2 3900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
6	4, 5	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
7	3, 6	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
8	7	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
9	8	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
10	9	ralimdva 3144	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
12	1, 11	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
13		sseq1 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
14		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
15		oveq1 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵))
16	15	ineq1d 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
17	16	oveq1d 7036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
18	14, 17	sseq12d 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
19	13, 18	imbi12d 346	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
20	19	rspccv 3556	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
21		chjcl 28830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
22	21	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
23	22	adantll 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
24		chjcl 28830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
26		chincl 28972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ )
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ )
28		inss2 4130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
29		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
30	28, 29	mpii 46	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
32		chub2 28981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝑦 ∨ℋ 𝐵))
33	32	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝑦 ∨ℋ 𝐵))
34		chub2 28981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
35	34	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
37	33, 36	ssind 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
38		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
39		chlejb2 28986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
40	38, 27, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
41	37, 40	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
42	41	ineq1d 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐴))
43		inass 4120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
44		incom 4103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
45		chabs2 28990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
46	44, 45	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴)
47	46	ineq2d 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴)) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
48	43, 47	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
50	42, 49	eqtrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
51	50	oveq1d 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
52	51	sseq2d 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
53	31, 52	sylibd 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
54	53	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
55	54	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
56	20, 55	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
57	56	ralrimdv 3155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
58		dmdbr4 29779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑦 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
59	57, 58	sylibrd 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵))
60	12, 59	impbid 213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   ∩ cin 3862   ⊆ wss 3863   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021   C_ℋ cch 28402   ∨_ℋ chj 28406   𝑀_ℋ^* cdmd 28440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cc 9708  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468  ax-hilex 28472  ax-hfvadd 28473  ax-hvcom 28474  ax-hvass 28475  ax-hv0cl 28476  ax-hvaddid 28477  ax-hfvmul 28478  ax-hvmulid 28479  ax-hvmulass 28480  ax-hvdistr1 28481  ax-hvdistr2 28482  ax-hvmul0 28483  ax-hfi 28552  ax-his1 28555  ax-his2 28556  ax-his3 28557  ax-his4 28558  ax-hcompl 28675

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-omul 7963  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-acn 9222  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-lm 21526  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cfil 23546  df-cau 23547  df-cmet 23548  df-grpo 27966  df-gid 27967  df-ginv 27968  df-gdiv 27969  df-ablo 28018  df-vc 28032  df-nv 28065  df-va 28068  df-ba 28069  df-sm 28070  df-0v 28071  df-vs 28072  df-nmcv 28073  df-ims 28074  df-dip 28174  df-ssp 28195  df-ph 28286  df-cbn 28336  df-hnorm 28441  df-hba 28442  df-hvsub 28444  df-hlim 28445  df-hcau 28446  df-sh 28680  df-ch 28694  df-oc 28725  df-ch0 28726  df-shs 28781  df-chj 28783  df-dmd 29754

This theorem is referenced by: (None)