Theorem iccllysconn 35218

Description: A closed interval is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccllysconn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Proof of Theorem iccllysconn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
2		inss1 4212	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥
3		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
4	2, 3	sselid 3956	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		tg2 22901	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
7		ioof 13462	. . . . . . . 8 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
8		ffn 6705	. . . . . . . 8 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
9		ovelrn 7581	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
11		inss1 4212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑧
12		simprrr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ⊆ 𝑥)
13	11, 12	sstrid 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥)
14		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝑧)
15		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
16	15	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
18		ioosconn 35215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
19		ioossre 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏))
21	20	resconn 35214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn))
22		reconn 24766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23	21, 22	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
25	18, 24	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
26		inss1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
27		ssralv 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
28	27	ralimdv 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
29		ssralv 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
30	28, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
31	26, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
32	25, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
33		inss2 4213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34		iccconn 24768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn)
35		iccssre 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36		reconn 24766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
40		ssralv 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	ralimdv 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
42		ssralv 4027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
43	41, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
44	33, 39, 43	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
45		ssin 4214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	2ralbii 3115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
47		r19.26-2 3125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
48	46, 47	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
49	32, 44, 48	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
50	26, 19	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ
51		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
52	51	resconn 35214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn))
53		reconn 24766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
54	52, 53	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
55	50, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
56	49, 55	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
57	17, 56	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
58	13, 14, 57	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
59	58	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
60	59	rexlimdvw 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
61	60	rexlimdvw 3146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
62	10, 61	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 ∈ ran (,) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
63	62	reximdvai 3151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
64		retopbas 24697	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
65		bastg 22902	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
66		ssrexv 4028	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
68	63, 67	syl6 35	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
69	6, 68	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
70	69	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
71		retop 24698	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
72		ovex 7436	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V
73		subislly 23417	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
74	71, 72, 73	mp2an 692	. 2 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
75	70, 74	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  ran crn 5655   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11266  (,)cioo 13360  [,]cicc 13363   ↾_t crest 17432  topGenctg 17449  Topctop 22829  TopBasesctb 22881  Conncconn 23347  Locally clly 23400  SConncsconn 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-conn 23348  df-lly 23402  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-ii 24819  df-cncf 24820  df-htpy 24918  df-phtpy 24919  df-phtpc 24940  df-pconn 35189  df-sconn 35190

This theorem is referenced by:  iillysconn  35221