Theorem iccllysconn 35742

Description: A closed interval is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccllysconn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Proof of Theorem iccllysconn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
2		inss1 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥
3		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
4	2, 3	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		tg2 23122	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
7		ioof 13469	. . . . . . . 8 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
8		ffn 6705	. . . . . . . 8 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
9		ovelrn 7586	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
11		inss1 4189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑧
12		simprrr 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ⊆ 𝑥)
13	11, 12	sstrid 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥)
14		simprrl 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝑧)
15		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
16	15	ineq1d 4172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
18		ioosconn 35739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
19		ioossre 13429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
20		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏))
21	20	resconn 35738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn))
22		reconn 24986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23	21, 22	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
25	18, 24	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
26		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
27		ssralv 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
28	27	ralimdv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
29		ssralv 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
30	28, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
31	26, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
32	25, 31	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
33		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34		iccconn 24988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn)
35		iccssre 13451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36		reconn 24986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
38	34, 37	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39	38	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
40		ssralv 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	ralimdv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
42		ssralv 4006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
43	41, 42	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
44	33, 39, 43	mpsyl 69	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
45		ssin 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	2ralbii 3140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
47		r19.26-2 3150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
48	46, 47	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
49	32, 44, 48	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
50	26, 19	sstri 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ
51		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
52	51	resconn 35738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn))
53		reconn 24986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
54	52, 53	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
55	50, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
56	49, 55	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
57	17, 56	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
58	13, 14, 57	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
59	58	exp32 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
60	59	rexlimdvw 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
61	60	rexlimdvw 3171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
62	10, 61	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 ∈ ran (,) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
63	62	reximdvai 3176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
64		retopbas 24917	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
65		bastg 23123	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
66		ssrexv 4007	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
68	63, 67	syl6 36	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
69	6, 68	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
70	69	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
71		retop 24918	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
72		ovex 7443	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V
73		subislly 23638	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
74	71, 72, 73	mp2an 704	. 2 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
75	70, 74	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   × cxp 5659  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  ℝ^*cxr 11237  (,)cioo 13367  [,]cicc 13370   ↾_t crest 17468  topGenctg 17485  Topctop 23050  TopBasesctb 23102  Conncconn 23568  Locally clly 23621  SConncsconn 35712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-conn 23569  df-lly 23623  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-ii 25036  df-cncf 25037  df-htpy 25129  df-phtpy 25130  df-phtpc 25151  df-pconn 35713  df-sconn 35714

This theorem is referenced by:  iillysconn  35745