Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccllysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccllysconn 33901
Description: A closed interval is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccllysconn ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn)

Proof of Theorem iccllysconn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2 inss1 4189 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯
3 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))
42, 3sselid 3943 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
5 tg2 22331 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
61, 4, 5syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
7 ioof 13370 . . . . . . . 8 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8 ffn 6669 . . . . . . . 8 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
9 ovelrn 7531 . . . . . . . 8 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
11 inss1 4189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† 𝑧
12 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 βŠ† π‘₯)
1311, 12sstrid 3956 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯)
14 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
15 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
1615ineq1d 4172 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
1716oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))))
18 ioosconn 33898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn
19 ioossre 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏))
2120resconn 33897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ Conn))
22 reconn 24207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2321, 22bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
2518, 24mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)
26 inss1 4189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)
27 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2827ralimdv 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
29 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
3028, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
3126, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
3225, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
33 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
34 iccconn 24209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn)
35 iccssre 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
36 reconn 24207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
40 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4140ralimdv 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
42 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4341, 42syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4433, 39, 43mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
45 ssin 4191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) ↔ (𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
46452ralbii 3124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))((𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
47 r19.26-2 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))((𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4846, 47bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4932, 44, 48sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
5026, 19sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ
51 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
5251resconn 33897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn))
53 reconn 24207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))))
5452, 53bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
5649, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)
5717, 56eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)
5813, 14, 573jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
5958exp32 422 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6059rexlimdvw 3154 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6160rexlimdvw 3154 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6210, 61biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6362reximdvai 3159 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
64 retopbas 24140 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
65 bastg 22332 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
66 ssrexv 4012 . . . . . 6 (ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
6863, 67syl6 35 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
696, 68mpd 15 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
7069ralrimivva 3194 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
71 retop 24141 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
72 ovex 7391 . . 3 (𝐴[,]𝐡) ∈ V
73 subislly 22848 . . 3 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) ∈ V) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
7471, 72, 73mp2an 691 . 2 (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
7570, 74sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  β„*cxr 11193  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273   β†Ύt crest 17307  topGenctg 17324  Topctop 22258  TopBasesctb 22311  Conncconn 22778  Locally clly 22831  SConncsconn 33871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-conn 22779  df-lly 22833  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-ii 24256  df-htpy 24349  df-phtpy 24350  df-phtpc 24371  df-pconn 33872  df-sconn 33873
This theorem is referenced by:  iillysconn  33904
  Copyright terms: Public domain W3C validator