Theorem iccllysconn 35478

Description: A closed interval is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccllysconn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Proof of Theorem iccllysconn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
2		inss1 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥
3		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
4	2, 3	sselid 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		tg2 22948	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
6	1, 4, 5	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
7		ioof 13391	. . . . . . . 8 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
8		ffn 6655	. . . . . . . 8 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
9		ovelrn 7532	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
11		inss1 4165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑧
12		simprrr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ⊆ 𝑥)
13	11, 12	sstrid 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥)
14		simprrl 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝑧)
15		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
16	15	ineq1d 4148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
18		ioosconn 35475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
19		ioossre 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
20		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏))
21	20	resconn 35474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn))
22		reconn 24812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23	21, 22	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
25	18, 24	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
26		inss1 4165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
27		ssralv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
28	27	ralimdv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
29		ssralv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
30	28, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
31	26, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
32	25, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
33		inss2 4166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34		iccconn 24814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn)
35		iccssre 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36		reconn 24812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
38	34, 37	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39	38	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
40		ssralv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	ralimdv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
42		ssralv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
43	41, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
44	33, 39, 43	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
45		ssin 4167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	2ralbii 3114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
47		r19.26-2 3124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
48	46, 47	bitr3i 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
49	32, 44, 48	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
50	26, 19	sstri 3924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ
51		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
52	51	resconn 35474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn))
53		reconn 24812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
54	52, 53	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
55	50, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
56	49, 55	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
57	17, 56	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
58	13, 14, 57	3jca 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
59	58	exp32 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
60	59	rexlimdvw 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
61	60	rexlimdvw 3145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
62	10, 61	biimtrid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 ∈ ran (,) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
63	62	reximdvai 3150	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
64		retopbas 24743	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
65		bastg 22949	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
66		ssrexv 3984	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
68	63, 67	syl6 35	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
69	6, 68	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
70	69	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
71		retop 24744	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
72		ovex 7389	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V
73		subislly 23464	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
74	71, 72, 73	mp2an 698	. 2 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
75	70, 74	sylibr 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529   × cxp 5616  ran crn 5619   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  Topctop 22876  TopBasesctb 22928  Conncconn 23394  Locally clly 23447  SConncsconn 35448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-conn 23395  df-lly 23449  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-ii 24862  df-cncf 24863  df-htpy 24955  df-phtpy 24956  df-phtpc 24977  df-pconn 35449  df-sconn 35450

This theorem is referenced by:  iillysconn  35481