Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccllysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccllysconn 34783
Description: A closed interval is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccllysconn ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn)

Proof of Theorem iccllysconn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2 inss1 4224 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯
3 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))
42, 3sselid 3976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
5 tg2 22842 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
61, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
7 ioof 13442 . . . . . . . 8 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8 ffn 6716 . . . . . . . 8 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
9 ovelrn 7589 . . . . . . . 8 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
11 inss1 4224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† 𝑧
12 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 βŠ† π‘₯)
1311, 12sstrid 3989 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯)
14 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
15 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
1615ineq1d 4207 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
1716oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))))
18 ioosconn 34780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn
19 ioossre 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ
20 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏))
2120resconn 34779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ Conn))
22 reconn 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2321, 22bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
2518, 24mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)
26 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)
27 ssralv 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2827ralimdv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
29 ssralv 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
3028, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
3126, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘’ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)βˆ€π‘£ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
3225, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
33 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
34 iccconn 24720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn)
35 iccssre 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
36 reconn 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
40 ssralv 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4140ralimdv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
42 ssralv 4046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4341, 42syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4433, 39, 43mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
45 ssin 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) ↔ (𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
46452ralbii 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))((𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
47 r19.26-2 3133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))((𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4846, 47bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
4932, 44, 48sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
5026, 19sstri 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ
51 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
5251resconn 34779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn))
53 reconn 24718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))))
5452, 53bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn ↔ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))(𝑒[,]𝑣) βŠ† ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
5649, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)
5717, 56eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)
5813, 14, 573jca 1126 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) ∧ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
5958exp32 420 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6059rexlimdvw 3155 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6160rexlimdvw 3155 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6210, 61biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))))
6362reximdvai 3160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
64 retopbas 24651 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
65 bastg 22843 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
66 ssrexv 4047 . . . . . 6 (ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
6764, 65, 66mp2b 10 . . . . 5 (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
6863, 67syl6 35 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
696, 68mpd 15 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
7069ralrimivva 3195 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
71 retop 24652 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
72 ovex 7447 . . 3 (𝐴[,]𝐡) ∈ V
73 subislly 23359 . . 3 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) ∈ V) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn)))
7471, 72, 73mp2an 691 . 2 (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡))βˆƒπ‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡))) ∈ SConn))
7570, 74sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Locally SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  β„*cxr 11263  (,)cioo 13342  [,]cicc 13345   β†Ύt crest 17387  topGenctg 17404  Topctop 22769  TopBasesctb 22822  Conncconn 23289  Locally clly 23342  SConncsconn 34753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-conn 23290  df-lly 23344  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-ii 24771  df-cncf 24772  df-htpy 24870  df-phtpy 24871  df-phtpc 24892  df-pconn 34754  df-sconn 34755
This theorem is referenced by:  iillysconn  34786
  Copyright terms: Public domain W3C validator