Theorem iccllysconn 35466

Description: A closed interval is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccllysconn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Proof of Theorem iccllysconn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
2		inss1 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥
3		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
4	2, 3	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		tg2 22921	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
6	1, 4, 5	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
7		ioof 13375	. . . . . . . 8 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
8		ffn 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
9		ovelrn 7544	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
11		inss1 4191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑧
12		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ⊆ 𝑥)
13	11, 12	sstrid 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥)
14		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝑧)
15		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
16	15	ineq1d 4173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
17	16	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
18		ioosconn 35463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
19		ioossre 13335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏))
21	20	resconn 35462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn))
22		reconn 24785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23	21, 22	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
25	18, 24	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
26		inss1 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
27		ssralv 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
28	27	ralimdv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
29		ssralv 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
30	28, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
31	26, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑎(,)𝑏)∀𝑣 ∈ (𝑎(,)𝑏)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
32	25, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
33		inss2 4192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34		iccconn 24787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn)
35		iccssre 13357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36		reconn 24785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39	38	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
40		ssralv 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	ralimdv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
42		ssralv 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
43	41, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
44	33, 39, 43	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
45		ssin 4193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	2ralbii 3113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
47		r19.26-2 3123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))((𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
48	46, 47	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
49	32, 44, 48	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
50	26, 19	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ
51		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
52	51	resconn 35462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn))
53		reconn 24785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
54	52, 53	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
55	50, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))∀𝑣 ∈ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))(𝑢[,]𝑣) ⊆ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
56	49, 55	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
57	17, 56	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)
58	13, 14, 57	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) ∧ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
59	58	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
60	59	rexlimdvw 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
61	60	rexlimdvw 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
62	10, 61	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (𝑧 ∈ ran (,) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))))
63	62	reximdvai 3149	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
64		retopbas 24716	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
65		bastg 22922	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
66		ssrexv 4005	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
67	64, 65, 66	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
68	63, 67	syl6 35	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
69	6, 68	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
70	69	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
71		retop 24717	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
72		ovex 7401	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V
73		subislly 23437	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn)))
74	71, 72, 73	mp2an 693	. 2 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn ↔ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴[,]𝐵))∃𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∈ SConn))
75	70, 74	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Locally SConn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   × cxp 5630  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276   ↾_t crest 17352  topGenctg 17369  Topctop 22849  TopBasesctb 22901  Conncconn 23367  Locally clly 23420  SConncsconn 35436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-conn 23368  df-lly 23422  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-ii 24838  df-cncf 24839  df-htpy 24937  df-phtpy 24938  df-phtpc 24959  df-pconn 35437  df-sconn 35438

This theorem is referenced by:  iillysconn  35469