Theorem ssntr 23383

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ssntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2		elpwg 4559	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑂 ⊆ 𝑆))
3	2	pm5.32i 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆))
4	1, 3	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5		elssuni 4898	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	4, 5	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
9	8	ntrval 23361	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11	7, 10	sseqtrrd 3946	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6541  Topctop 23218  intcnt 23342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-top 23219  df-ntr 23345

This theorem is used by:  ntrin  23386  neiint  23429  restntr  23507  cnntri  23596  xkococnlem  23985  iccntr  25148  bcthlem5  25656  ftc1  26369  lgamucov  27372  cvmlift2lem12  36167  cvmlift3lem7  36178  opnregcld  37212  ftc1cnnc  38717