MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssntr 21663
Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ssntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr
StepHypRef Expression
1 elin 3897 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2 elpwg 4500 . . . . . 6 (𝑂𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆𝑂𝑆))
32pm5.32i 578 . . . . 5 ((𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂𝑆))
41, 3bitr2i 279 . . . 4 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5 elssuni 4830 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
64, 5sylbi 220 . . 3 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
76adantl 485 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
98ntrval 21641 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
109adantr 484 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
117, 10sseqtrrd 3956 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  cin 3880  wss 3881  𝒫 cpw 4497   cuni 4800  cfv 6324  Topctop 21498  intcnt 21622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-top 21499  df-ntr 21625
This theorem is referenced by:  ntrin  21666  neiint  21709  restntr  21787  cnntri  21876  xkococnlem  22264  iccntr  23426  bcthlem5  23932  ftc1  24645  lgamucov  25623  cvmlift2lem12  32674  cvmlift3lem7  32685  opnregcld  33791  ftc1cnnc  35129
  Copyright terms: Public domain W3C validator