MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssntr 23082
Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ssntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr
StepHypRef Expression
1 elin 3979 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2 elpwg 4608 . . . . . 6 (𝑂𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆𝑂𝑆))
32pm5.32i 574 . . . . 5 ((𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂𝑆))
41, 3bitr2i 276 . . . 4 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5 elssuni 4942 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
64, 5sylbi 217 . . 3 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
76adantl 481 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
98ntrval 23060 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
109adantr 480 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
117, 10sseqtrrd 4037 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  cfv 6563  Topctop 22915  intcnt 23041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-top 22916  df-ntr 23044
This theorem is referenced by:  ntrin  23085  neiint  23128  restntr  23206  cnntri  23295  xkococnlem  23683  iccntr  24857  bcthlem5  25376  ftc1  26098  lgamucov  27096  cvmlift2lem12  35299  cvmlift3lem7  35310  opnregcld  36313  ftc1cnnc  37679
  Copyright terms: Public domain W3C validator