MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1 24018
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at 𝐶 with derivative 𝐹(𝐶) if the original function is continuous at 𝐶. This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ftc1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐿t ℝ)
2 ftc1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
32tgioo2 22819 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (𝐿t ℝ)
41, 3eqtr4i 2796 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5 retop 22778 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64, 5eqeltri 2846 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
8 ftc1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 iccssre 12453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
12 iooretop 22782 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
1312, 4eleqtrri 2849 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽)
15 ioossicc 12457 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17 uniretop 22779 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
184unieqi 4583 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1917, 18eqtr4i 2796 . . . . 5 ℝ = 𝐽
2019ssntr 21076 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
22 ftc1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2321, 22sseldd 3753 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
24 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
27 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
28 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
29 ftc1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.k . . 3 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
31 eqid 2771 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 24017 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
33 ax-resscn 10193 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 24014 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 24012 . . 3 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 23875 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
3823, 32, 37mpbir2and 692 1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  cle 10275  cmin 10466   / cdiv 10884  (,)cioo 12373  [,]cicc 12376  t crest 16282  TopOpenctopn 16283  topGenctg 16299  fldccnfld 19954  Topctop 20911  intcnt 21035   CnP ccnp 21243  𝐿1cibl 23598  citg 23599   lim climc 23839   D cdv 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-ofr 7043  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-ntr 21038  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600  df-itg1 23601  df-itg2 23602  df-ibl 23603  df-itg 23604  df-0p 23650  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  ftc1cn  24019
  Copyright terms: Public domain W3C validator