MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1 25204
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at 𝐶 with derivative 𝐹(𝐶) if the original function is continuous at 𝐶. This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ftc1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐿t ℝ)
2 ftc1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
32tgioo2 23964 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (𝐿t ℝ)
41, 3eqtr4i 2771 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5 retop 23923 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64, 5eqeltri 2837 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
8 ftc1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 iccssre 13160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
12 iooretop 23927 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
1312, 4eleqtrri 2840 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽)
15 ioossicc 13164 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17 uniretop 23924 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
184unieqi 4858 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1917, 18eqtr4i 2771 . . . . 5 ℝ = 𝐽
2019ssntr 22207 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
22 ftc1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2321, 22sseldd 3927 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
24 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
27 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
28 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
29 ftc1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.k . . 3 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
31 eqid 2740 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 25203 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
33 ax-resscn 10929 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 25200 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 25198 . . 3 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 25060 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
3823, 32, 37mpbir2and 710 1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  cdif 3889  wss 3892  {csn 4567   cuni 4845   class class class wbr 5079  cmpt 5162  ran crn 5591  cfv 6432  (class class class)co 7271  cc 10870  cr 10871  cle 11011  cmin 11205   / cdiv 11632  (,)cioo 13078  [,]cicc 13081  t crest 17129  TopOpenctopn 17130  topGenctg 17146  fldccnfld 20595  Topctop 22040  intcnt 22166   CnP ccnp 22374  𝐿1cibl 24779  citg 24780   lim climc 25024   D cdv 25025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cc 10192  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-acn 9701  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-ntr 22169  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-ovol 24626  df-vol 24627  df-mbf 24781  df-itg1 24782  df-itg2 24783  df-ibl 24784  df-itg 24785  df-0p 24832  df-limc 25028  df-dv 25029
This theorem is referenced by:  ftc1cn  25205
  Copyright terms: Public domain W3C validator