MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1 24624
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at 𝐶 with derivative 𝐹(𝐶) if the original function is continuous at 𝐶. This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ftc1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐿t ℝ)
2 ftc1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
32tgioo2 23387 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (𝐿t ℝ)
41, 3eqtr4i 2847 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5 retop 23346 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64, 5eqeltri 2908 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
8 ftc1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 iccssre 12797 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
12 iooretop 23350 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
1312, 4eleqtrri 2911 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽)
15 ioossicc 12801 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17 uniretop 23347 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
184unieqi 4824 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1917, 18eqtr4i 2847 . . . . 5 ℝ = 𝐽
2019ssntr 21642 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
22 ftc1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2321, 22sseldd 3944 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
24 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
27 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
28 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
29 ftc1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.k . . 3 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
31 eqid 2821 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 24623 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
33 ax-resscn 10571 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 24620 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 24618 . . 3 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 24480 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
3823, 32, 37mpbir2and 712 1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3907  wss 3910  {csn 4540   cuni 4811   class class class wbr 5039  cmpt 5119  ran crn 5529  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  cle 10653  cmin 10847   / cdiv 11274  (,)cioo 12716  [,]cicc 12719  t crest 16673  TopOpenctopn 16674  topGenctg 16690  fldccnfld 20521  Topctop 21477  intcnt 21601   CnP ccnp 21809  𝐿1cibl 24200  citg 24201   lim climc 24444   D cdv 24445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4194  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-ntr 21604  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204  df-ibl 24205  df-itg 24206  df-0p 24253  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by:  ftc1cn  24625
  Copyright terms: Public domain W3C validator