Theorem ntrss2 23018

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 22997	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 4192	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 4874	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 5407	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 3984	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	2, 6	eqsstrdi 3980	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6502  Topctop 22854  intcnt 22978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-top 22855  df-ntr 22981

This theorem is referenced by:  ntrin  23022  neiint  23065  opnnei  23081  topssnei  23085  maxlp  23108  restntr  23143  iscnp4  23224  cnntri  23232  cnntr  23236  cnprest  23250  llycmpkgen2  23511  xkococnlem  23620  flimopn  23936  fclsneii  23978  fcfnei  23996  subgntr  24068  iccntr  24783  rectbntr0  24794  bcthlem5  25301  limcflf  25855  dvbss  25875  perfdvf  25877  dvreslem  25883  dvcnp2  25894  dvcnp2OLD  25895  dvnres  25906  dvaddbr  25913  dvcmulf  25921  dvmptres2  25939  dvmptcmul  25941  dvmptntr  25948  dvcnvre  25997  taylthlem1  26354  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  ulmdvlem3  26384  lgamucov2  27022  ubthlem1  30964  kur14lem6  35433  cvmlift2lem12  35536  opnbnd  36547  opnregcld  36552  cldregopn  36553  dvresntr  46305