Theorem ntrss2 23011

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 22990	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 4218	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 4896	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 5435	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 4012	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	2, 6	eqsstrdi 4008	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4887  ‘cfv 6541  Topctop 22847  intcnt 22971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-top 22848  df-ntr 22974

This theorem is referenced by:  ntrin  23015  neiint  23058  opnnei  23074  topssnei  23078  maxlp  23101  restntr  23136  iscnp4  23217  cnntri  23225  cnntr  23229  cnprest  23243  llycmpkgen2  23504  xkococnlem  23613  flimopn  23929  fclsneii  23971  fcfnei  23989  subgntr  24061  iccntr  24779  rectbntr0  24790  bcthlem5  25298  limcflf  25852  dvbss  25872  perfdvf  25874  dvreslem  25880  dvcnp2  25891  dvcnp2OLD  25892  dvnres  25903  dvaddbr  25910  dvcmulf  25918  dvmptres2  25936  dvmptcmul  25938  dvmptntr  25945  dvcnvre  25994  taylthlem1  26351  taylthlem2  26352  taylthlem2OLD  26353  ulmdvlem3  26381  lgamucov2  27018  ubthlem1  30817  kur14lem6  35175  cvmlift2lem12  35278  opnbnd  36285  opnregcld  36290  cldregopn  36291  dvresntr  45890