Theorem ntrss2 23086

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 23065	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 4259	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 4940	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 5470	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 4045	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	2, 6	eqsstrdi 4063	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  intcnt 23046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-top 22921  df-ntr 23049

This theorem is referenced by:  ntrin  23090  neiint  23133  opnnei  23149  topssnei  23153  maxlp  23176  restntr  23211  iscnp4  23292  cnntri  23300  cnntr  23304  cnprest  23318  llycmpkgen2  23579  xkococnlem  23688  flimopn  24004  fclsneii  24046  fcfnei  24064  subgntr  24136  iccntr  24862  rectbntr0  24873  bcthlem5  25381  limcflf  25936  dvbss  25956  perfdvf  25958  dvreslem  25964  dvcnp2  25975  dvcnp2OLD  25976  dvnres  25987  dvaddbr  25994  dvcmulf  26002  dvmptres2  26020  dvmptcmul  26022  dvmptntr  26029  dvcnvre  26078  taylthlem1  26433  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ulmdvlem3  26463  lgamucov2  27100  ubthlem1  30902  kur14lem6  35179  cvmlift2lem12  35282  opnbnd  36291  opnregcld  36296  cldregopn  36297  dvresntr  45839