MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrss2 21659
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 21638 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 4205 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 4854 . . 3 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 5334 . . 3 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 4002 . 2 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
72, 6eqsstrdi 4020 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cin 3934  wss 3935  𝒫 cpw 4538   cuni 4831  cfv 6349  Topctop 21495  intcnt 21619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-top 21496  df-ntr 21622
This theorem is referenced by:  ntrin  21663  neiint  21706  opnnei  21722  topssnei  21726  maxlp  21749  restntr  21784  iscnp4  21865  cnntri  21873  cnntr  21877  cnprest  21891  llycmpkgen2  22152  xkococnlem  22261  flimopn  22577  fclsneii  22619  fcfnei  22637  subgntr  22709  iccntr  23423  rectbntr0  23434  bcthlem5  23925  limcflf  24473  dvbss  24493  perfdvf  24495  dvreslem  24501  dvcnp2  24511  dvnres  24522  dvaddbr  24529  dvcmulf  24536  dvmptres2  24553  dvmptcmul  24555  dvmptntr  24562  dvcnvre  24610  taylthlem1  24955  taylthlem2  24956  ulmdvlem3  24984  lgamucov2  25610  ubthlem1  28641  kur14lem6  32453  cvmlift2lem12  32556  opnbnd  33668  opnregcld  33673  cldregopn  33674  dvresntr  42195
  Copyright terms: Public domain W3C validator