Theorem ntrss2 23223

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 23202	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 4190	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 4881	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 5431	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 3985	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	2, 6	eqsstrdi 3981	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Topctop 23059  intcnt 23183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23060  df-ntr 23186

This theorem is used by:  ntrin  23227  neiint  23270  opnnei  23286  topssnei  23290  maxlp  23313  restntr  23348  iscnp4  23429  cnntri  23437  cnntr  23441  cnprest  23455  llycmpkgen2  23716  xkococnlem  23825  flimopn  24141  fclsneii  24183  fcfnei  24201  subgntr  24273  iccntr  24988  rectbntr0  24999  bcthlem5  25496  limcflf  26049  dvbss  26069  perfdvf  26071  dvreslem  26077  dvcnp2  26088  dvnres  26099  dvaddbr  26106  dvcmulf  26113  dvmptres2  26130  dvmptcmul  26132  dvmptntr  26139  dvcnvre  26187  taylthlem1  26545  taylthlem2  26546  ulmdvlem3  26574  lgamucov2  27212  ubthlem1  31231  kur14lem6  35711  cvmlift2lem12  35814  opnbnd  36864  opnregcld  36869  cldregopn  36870  dvresntr  46660