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Theorem lgamucov 26882
Description: The 𝑈 regions used in the proof of lgamgulm 26879 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
lgamucov.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
lgamucov (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑈))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝐴   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem lgamucov
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24608 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 difss 4131 . . . . 5 (ℤ ∖ ℕ) ⊆ ℤ
3 lgamucov.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
43sszcld 24652 . . . . 5 ((ℤ ∖ ℕ) ⊆ ℤ → (ℤ ∖ ℕ) ∈ (Clsd‘𝐽))
53cnfldtopon 24618 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
65toponunii 22737 . . . . . 6 ℂ = 𝐽
76cldopn 22854 . . . . 5 ((ℤ ∖ ℕ) ∈ (Clsd‘𝐽) → (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∈ 𝐽)
82, 4, 7mp2b 10 . . . 4 (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∈ 𝐽
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∈ 𝐽)
10 lgamucov.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
113cnfldtopn 24617 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1211mopni2 24321 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∈ 𝐽𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
131, 9, 10, 12mp3an2i 1465 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1410eldifad 3960 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615abscld 15390 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
17 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1817rpred 13023 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
1916, 18readdcld 11250 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → ((abs‘𝐴) + 𝑎) ∈ ℝ)
20 2re 12293 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → 2 ∈ ℝ)
2221, 17rerpdivcld 13054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → (2 / 𝑎) ∈ ℝ)
2319, 22readdcld 11250 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) ∈ ℝ)
24 arch 12476 . . . 4 ((((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) ∈ ℝ → ∃𝑟 ∈ ℕ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟)
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → ∃𝑟 ∈ ℕ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟)
263cnfldtop 24619 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝐽 ∈ Top)
28 lgamucov.u . . . . . . . . 9 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2928ssrab3 4080 . . . . . . . 8 𝑈 ⊆ ℂ
3029a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝑈 ⊆ ℂ)
3115ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝐴 ∈ ℂ)
3217ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3332rphalfcld 13035 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
3433rpxrd 13024 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ*)
3511blopn 24328 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ∈ 𝐽)
361, 31, 34, 35mp3an2i 1465 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ∈ 𝐽)
37 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837abscld 15390 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
39 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 𝑟 ∈ ℕ)
4039nnred 12234 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 𝑟 ∈ ℝ)
4123ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) ∈ ℝ)
4219ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝐴) + 𝑎) ∈ ℝ)
4316ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4438, 43resubcld 11649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝑥) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
4518ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 𝑎 ∈ ℝ)
4645rehalfcld 12466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ)
4731ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4837, 47subcld 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
4948abscld 15390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
5037, 47abs2difd 15411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝑥) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝑥𝐴)))
51 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5251cnmetdval 24606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝐴𝑥)))
5347, 37, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (𝐴(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝐴𝑥)))
5447, 37abssubd 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘(𝐴𝑥)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
5553, 54eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (𝐴(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝐴)))
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2))
5755, 56eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘(𝑥𝐴)) < (𝑎 / 2))
5844, 49, 46, 50, 57lelttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝑥) − (abs‘𝐴)) < (𝑎 / 2))
5932ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
60 rphalflt 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑎 / 2) < 𝑎)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (𝑎 / 2) < 𝑎)
6244, 46, 45, 58, 61lttrd 11382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝑥) − (abs‘𝐴)) < 𝑎)
6338, 43, 45ltsubadd2d 11819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (((abs‘𝑥) − (abs‘𝐴)) < 𝑎 ↔ (abs‘𝑥) < ((abs‘𝐴) + 𝑎)))
6462, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘𝑥) < ((abs‘𝐴) + 𝑎))
65 2rp 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → 2 ∈ ℝ+)
6766, 59rpdivcld 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (2 / 𝑎) ∈ ℝ+)
6842, 67ltaddrpd 13056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝐴) + 𝑎) < (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)))
6938, 42, 41, 64, 68lttrd 11382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘𝑥) < (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)))
70 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟)
7138, 41, 40, 69, 70lttrd 11382 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘𝑥) < 𝑟)
7238, 40, 71ltled 11369 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → (abs‘𝑥) ≤ 𝑟)
7339adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑟 ∈ ℕ)
7473nnrecred 12270 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
75 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7875, 77addcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑘) ∈ ℂ)
7978abscld 15390 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ∈ ℝ)
8046adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ)
8122ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑎) ∈ ℝ)
8241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) ∈ ℝ)
8340adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑟 ∈ ℝ)
8447adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8510ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
8685dmgmn0 26870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
8784, 86absrpcld 15402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
8859adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℝ+)
8987, 88rpaddcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) + 𝑎) ∈ ℝ+)
9081, 89ltaddrp2d 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑎) < (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)))
91 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟)
9281, 82, 83, 90, 91lttrd 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑎) < 𝑟)
9367adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑎) ∈ ℝ+)
9473nnrpd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑟 ∈ ℝ+)
9593, 94ltrecd 13041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑎) < 𝑟 ↔ (1 / 𝑟) < (1 / (2 / 𝑎))))
9692, 95mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝑟) < (1 / (2 / 𝑎)))
97 2cnd 12297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
9888rpcnd 13025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℂ)
99 2ne0 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
10188rpne0d 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ≠ 0)
10297, 98, 100, 101recdivd 12014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2 / 𝑎)) = (𝑎 / 2))
10396, 102breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝑟) < (𝑎 / 2))
104 eldmgm 26866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑘 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (-𝑘 ∈ ℂ ∧ ¬ --𝑘 ∈ ℕ0))
105104simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑘 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ¬ --𝑘 ∈ ℕ0)
10677negnegd 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → --𝑘 = 𝑘)
107106, 76eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → --𝑘 ∈ ℕ0)
108105, 107nsyl3 138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ -𝑘 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1091a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11034ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ*)
11177negcld 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → -𝑘 ∈ ℂ)
112 elbl2 24215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑘 ∈ ℂ)) → (-𝑘 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ↔ (𝑥(abs ∘ − )-𝑘) < (𝑎 / 2)))
113109, 110, 75, 111, 112syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑘 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ↔ (𝑥(abs ∘ − )-𝑘) < (𝑎 / 2)))
11451cnmetdval 24606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑘 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )-𝑘) = (abs‘(𝑥 − -𝑘)))
11575, 111, 114syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥(abs ∘ − )-𝑘) = (abs‘(𝑥 − -𝑘)))
11675, 77subnegd 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥 − -𝑘) = (𝑥 + 𝑘))
117116fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑥 − -𝑘)) = (abs‘(𝑥 + 𝑘)))
118115, 117eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥(abs ∘ − )-𝑘) = (abs‘(𝑥 + 𝑘)))
119118breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑥(abs ∘ − )-𝑘) < (𝑎 / 2) ↔ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) < (𝑎 / 2)))
12079, 80ltnled 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑥 + 𝑘)) < (𝑎 / 2) ↔ ¬ (𝑎 / 2) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))))
121113, 119, 1203bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑘 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ↔ ¬ (𝑎 / 2) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))))
12245adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℝ)
123 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2))
124 elbl3 24217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ↔ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)))
125109, 110, 75, 84, 124syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ↔ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)))
126123, 125mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)))
127 blhalf 24230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)))) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎))
128109, 75, 122, 126, 127syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎))
129 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
130129ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
131128, 130sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
132131sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑘 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) → -𝑘 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))))
133121, 132sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ (𝑎 / 2) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) → -𝑘 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))))
134108, 133mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 / 2) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))
13574, 80, 79, 103, 134ltletrd 11381 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝑟) < (abs‘(𝑥 + 𝑘)))
13674, 79, 135ltled 11369 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))
137136ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))
13872, 137jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))))
139138ex 412 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))))
140139ss2rabdv 4073 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)} ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))})
141 blval 24211 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)})
1421, 31, 34, 141mp3an2i 1465 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐴(abs ∘ − )𝑥) < (𝑎 / 2)})
14328a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))})
144140, 142, 1433sstr4d 4029 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ 𝑈)
1456ssntr 22881 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈 ⊆ ℂ) ∧ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ 𝑈)) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑈))
14627, 30, 36, 144, 145syl22anc 836 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑈))
147 blcntr 24238 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)))
1481, 31, 33, 147mp3an2i 1465 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))(𝑎 / 2)))
149146, 148sseldd 3983 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) ∧ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟) → 𝐴 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑈))
150149ex 412 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ((((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟𝐴 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑈)))
151150reximdva 3167 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → (∃𝑟 ∈ ℕ (((abs‘𝐴) + 𝑎) + (2 / 𝑎)) < 𝑟 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑈)))
15225, 151mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑎) ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))) → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑈))
15313, 152rexlimddv 3160 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  cdif 3945  wss 3948   class class class wbr 5148  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  0cn0 12479  cz 12565  +crp 12981  abscabs 15188  TopOpenctopn 17374  ∞Metcxmet 21217  ballcbl 21219  fldccnfld 21232  Topctop 22714  Clsdccld 22839  intcnt 22840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-fz 13492  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cld 22842  df-ntr 22843  df-xms 24145  df-ms 24146
This theorem is referenced by:  lgamucov2  26883
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