Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem13 39337
Description: Lemma for paddass 39343. The case when 𝑟 (𝑥 𝑦). (Unlike the proof in Maeda and Maeda, we don't need 𝑥𝑦.) (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem13
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑋𝐴)
3 simpl22 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑌𝐴)
4 paddasslem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 paddasslem.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
64, 5paddssat 39319 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
8 simpl23 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑍𝐴)
94, 5sspadd1 39320 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
101, 7, 8, 9syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
111hllatd 38868 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
12 simprll 777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥𝑋)
13 simprlr 778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑦𝑌)
14 simpl3l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝𝐴)
15 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16 paddasslem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
1715, 4atbase 38793 . . . . 5 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1814, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
192, 12sseldd 3983 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥𝐴)
2015, 4atbase 38793 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3r 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑟𝐴)
2315, 4atbase 38793 . . . . . 6 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
25 paddasslem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2615, 25latjcl 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
2711, 21, 24, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑥 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
283, 13sseldd 3983 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑦𝐴)
2915, 4atbase 38793 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
3115, 25latjcl 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
3211, 21, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
33 simprrr 780 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 (𝑥 𝑟))
3415, 16, 25latlej1 18447 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 (𝑥 𝑦))
3511, 21, 30, 34syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥 (𝑥 𝑦))
36 simprrl 779 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑟 (𝑥 𝑦))
3715, 16, 25latjle12 18449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑥 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑥 𝑦)) ↔ (𝑥 𝑟) (𝑥 𝑦)))
3811, 21, 24, 32, 37syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → ((𝑥 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑥 𝑦)) ↔ (𝑥 𝑟) (𝑥 𝑦)))
3935, 36, 38mpbi2and 710 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑥 𝑟) (𝑥 𝑦))
4015, 16, 11, 18, 27, 32, 33, 39lattrd 18445 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 (𝑥 𝑦))
4116, 25, 4, 5elpaddri 39307 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑥 𝑦))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4211, 2, 3, 12, 13, 14, 40, 41syl322anc 1395 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4310, 42sseldd 3983 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wss 3949   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  +𝑃cpadd 39300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-lat 18431  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-padd 39301
This theorem is referenced by:  paddasslem14  39338
  Copyright terms: Public domain W3C validator