Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem13 37846
Description: Lemma for paddass 37852. The case when 𝑟 (𝑥 𝑦). (Unlike the proof in Maeda and Maeda, we don't need 𝑥𝑦.) (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem13
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑋𝐴)
3 simpl22 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑌𝐴)
4 paddasslem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 paddasslem.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
64, 5paddssat 37828 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
71, 2, 3, 6syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
8 simpl23 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑍𝐴)
94, 5sspadd1 37829 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
101, 7, 8, 9syl3anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
111hllatd 37378 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
12 simprll 776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥𝑋)
13 simprlr 777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑦𝑌)
14 simpl3l 1227 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝𝐴)
15 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16 paddasslem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
1715, 4atbase 37303 . . . . 5 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1814, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
192, 12sseldd 3922 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥𝐴)
2015, 4atbase 37303 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3r 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑟𝐴)
2315, 4atbase 37303 . . . . . 6 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
25 paddasslem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2615, 25latjcl 18157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
2711, 21, 24, 26syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑥 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
283, 13sseldd 3922 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑦𝐴)
2915, 4atbase 37303 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
3115, 25latjcl 18157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
3211, 21, 30, 31syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
33 simprrr 779 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 (𝑥 𝑟))
3415, 16, 25latlej1 18166 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 (𝑥 𝑦))
3511, 21, 30, 34syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑥 (𝑥 𝑦))
36 simprrl 778 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑟 (𝑥 𝑦))
3715, 16, 25latjle12 18168 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑥 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑥 𝑦)) ↔ (𝑥 𝑟) (𝑥 𝑦)))
3811, 21, 24, 32, 37syl13anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → ((𝑥 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑥 𝑦)) ↔ (𝑥 𝑟) (𝑥 𝑦)))
3935, 36, 38mpbi2and 709 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → (𝑥 𝑟) (𝑥 𝑦))
4015, 16, 11, 18, 27, 32, 33, 39lattrd 18164 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 (𝑥 𝑦))
4116, 25, 4, 5elpaddri 37816 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑥 𝑦))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4211, 2, 3, 12, 13, 14, 40, 41syl322anc 1397 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4310, 42sseldd 3922 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wss 3887   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029  Latclat 18149  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  +𝑃cpadd 37809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-lat 18150  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-padd 37810
This theorem is referenced by:  paddasslem14  37847
  Copyright terms: Public domain W3C validator