Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem13 39229
Description: Lemma for paddass 39235. The case when π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦). (Unlike the proof in Maeda and Maeda, we don't need π‘₯ β‰  𝑦.) (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem13
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpl22 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4 paddasslem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 paddasslem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
64, 5paddssat 39211 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
71, 2, 3, 6syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
8 simpl23 1251 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
94, 5sspadd1 39212 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
101, 7, 8, 9syl3anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
111hllatd 38760 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simprll 778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
13 simprlr 779 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
14 simpl3l 1226 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
15 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
16 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1715, 4atbase 38685 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1814, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 12sseldd 3979 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2015, 4atbase 38685 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simpl3r 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2315, 4atbase 38685 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 paddasslem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2615, 25latjcl 18416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2711, 21, 24, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
283, 13sseldd 3979 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2915, 4atbase 38685 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3115, 25latjcl 18416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3211, 21, 30, 31syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
33 simprrr 781 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))
3415, 16, 25latlej1 18425 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ π‘₯ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
3511, 21, 30, 34syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
36 simprrl 780 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
3715, 16, 25latjle12 18427 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘₯ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) ↔ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
3811, 21, 24, 32, 37syl13anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((π‘₯ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) ↔ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
3935, 36, 38mpbi2and 711 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
4015, 16, 11, 18, 27, 32, 33, 39lattrd 18423 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
4116, 25, 4, 5elpaddri 39199 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
4211, 2, 3, 12, 13, 14, 40, 41syl322anc 1396 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
4310, 42sseldd 3979 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  Latclat 18408  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  +𝑃cpadd 39192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-poset 18290  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-lat 18409  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-padd 39193
This theorem is referenced by:  paddasslem14  39230
  Copyright terms: Public domain W3C validator