Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem2N 38920
Description: Lemma for osumclN 38930. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀))
Proof of Theorem osumcllem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑝 ∈ π‘ˆ)
43snssd 4812 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ {𝑝} βŠ† π‘ˆ)
5 osumcllem.u . . . . . 6 π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
6 osumcllem.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 osumcllem.p . . . . . . . . . 10 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
86, 7paddssat 38777 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
98adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
10 osumcllem.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
116, 10polssatN 38871 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
121, 9, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
136, 10polssatN 38871 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
141, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
155, 14eqsstrid 4030 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐴)
164, 15sstrd 3992 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
176, 7sspadd1 38778 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + {𝑝}))
181, 2, 16, 17syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + {𝑝}))
19 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2018, 19sseqtrrdi 4033 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑀)
21 osumcllem.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
22 osumcllem.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
23 osumcllem.c . . 3 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
2421, 22, 6, 7, 10, 23, 19, 5osumcllem1N 38919 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
2520, 24sseqtrrd 4023 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  lecple 17206  joincjn 18266  Atomscatm 38225  HLchlt 38312  +𝑃cpadd 38758  βŠ₯𝑃cpolN 38865  PSubClcpscN 38897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-polarityN 38866
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  38927
  Copyright terms: Public domain W3C validator