Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem2N 37272
 Description: Lemma for osumclN 37282. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑈𝑀))

Proof of Theorem osumcllem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝐴)
3 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
43snssd 4702 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
5 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
6 osumcllem.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 osumcllem.p . . . . . . . . . 10 + = (+𝑃𝐾)
86, 7paddssat 37129 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
98adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
10 osumcllem.o . . . . . . . . 9 = (⊥𝑃𝐾)
116, 10polssatN 37223 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
121, 9, 11syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
136, 10polssatN 37223 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
141, 12, 13syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
155, 14eqsstrid 3963 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈𝐴)
164, 15sstrd 3925 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
176, 7sspadd1 37130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
181, 2, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
19 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2018, 19sseqtrrdi 3966 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝑀)
21 osumcllem.l . . 3 = (le‘𝐾)
22 osumcllem.j . . 3 = (join‘𝐾)
23 osumcllem.c . . 3 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
2421, 22, 6, 7, 10, 23, 19, 5osumcllem1N 37271 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)
2520, 24sseqtrrd 3956 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑈𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  lecple 16567  joincjn 17549  Atomscatm 36578  HLchlt 36665  +𝑃cpadd 37110  ⊥𝑃cpolN 37217  PSubClcpscN 37249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-riotaBAD 36268 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-undef 7925  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-psubsp 36818  df-pmap 36819  df-padd 37111  df-polarityN 37218 This theorem is referenced by:  osumcllem9N  37279
 Copyright terms: Public domain W3C validator