Theorem osumcllem2N 40403

Description: Lemma for osumclN 40413. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑈 ∩ 𝑀))

Proof of Theorem osumcllem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
4	3	snssd 4731	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
5		osumcllem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
6		osumcllem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		osumcllem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	6, 7	paddssat 40260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
10		osumcllem.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
11	6, 10	polssatN 40354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
12	1, 9, 11	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
13	6, 10	polssatN 40354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
14	1, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
15	5, 14	eqsstrid 3961	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐴)
16	4, 15	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
17	6, 7	sspadd1 40261	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
18	1, 2, 16, 17	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
19		osumcllem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
20	18, 19	sseqtrrdi 3964	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑀)
21		osumcllem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22		osumcllem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		osumcllem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
24	21, 22, 6, 7, 10, 23, 19, 5	osumcllem1N 40402	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)
25	20, 24	sseqtrrd 3960	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑈 ∩ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  lecple 17227  joincjn 18277  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  +_𝑃cpadd 40241  ⊥_𝑃cpolN 40348  PSubClcpscN 40380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-polarityN 40349

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  40410