Theorem ssrest 23132

Description: If 𝐾 is a finer topology than 𝐽, then the subspace topologies induced by 𝐴 maintain this relationship. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssrest	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ (𝐾 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem ssrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		ssrexv 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	2	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		n0i 4294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
5		restfn 17356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↾t Fn (V × V)
6	5	fndmi 6604	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ↾t = (V × V)
7	6	ndmov 7552	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
8	4, 7	nsyl2 141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
10		elrest 17359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
13	9	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
14		elrest 17359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
16	3, 11, 15	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴)))
17	1, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴)))
19	18	ssrdv 3941	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ (𝐾 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   × cxp 5630  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-rest 17354

This theorem is referenced by:  1stcrest  23409  kgencmp  23501  kgencmp2  23502  kgen2ss  23511  ssufl  23874  cnfsmf  47092  smfsssmf  47095