Theorem ssrest 23216

Description: If 𝐾 is a finer topology than 𝐽, then the subspace topologies induced by 𝐴 maintain this relationship. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssrest	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ (𝐾 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem ssrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		ssrexv 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	2	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		n0i 4292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
5		restfn 17436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↾t Fn (V × V)
6	5	fndmi 6621	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ↾t = (V × V)
7	6	ndmov 7576	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
8	4, 7	nsyl2 141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
9	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
10		elrest 17439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
13	9	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
14		elrest 17439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
16	3, 11, 15	3imtr4d 296	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴)))
17	1, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴))
18	17	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴)))
19	18	ssrdv 3942	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ (𝐾 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   × cxp 5643  (class class class)co 7392   ↾_t crest 17432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-rest 17434

This theorem is referenced by:  1stcrest  23493  kgencmp  23585  kgencmp2  23586  kgen2ss  23595  ssufl  23958  cnfsmf  47278  smfsssmf  47281