Theorem ssrest 21473

Description: If 𝐾 is a finer topology than 𝐽, then the subspace topologies induced by 𝐴 maintain this relationship. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssrest	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ (𝐾 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem ssrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		ssrexv 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	2	ad2antlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		n0i 4223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
5		restfn 16532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↾t Fn (V × V)
6		fndm 6330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ↾t = (V × V)
8	7	ndmov 7193	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
9	4, 8	nsyl2 143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
11		elrest 16535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
13		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
14	10	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
15		elrest 16535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
17	3, 12, 16	3imtr4d 295	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴)))
18	1, 17	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴))
19	18	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐾 ↾t 𝐴)))
20	19	ssrdv 3899	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ (𝐾 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ∩ cin 3862   ⊆ wss 3863  ∅c0 4215   × cxp 5446  dom cdm 5448   Fn wfn 6225  (class class class)co 7021   ↾_t crest 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-rest 16530

This theorem is referenced by:  1stcrest  21750  kgencmp  21842  kgencmp2  21843  kgen2ss  21852  ssufl  22215  cnfsmf  42585  smfsssmf  42588