Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsssmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsssmf 46666
Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsssmf.r (𝜑𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i (𝜑𝑅𝑆)
smfsssmf.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
smfsssmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1913 . 2 𝑎𝜑
2 smfsssmf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsssmf.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SAlg)
4 smfsssmf.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5 eqid 2740 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
63, 4, 5smfdmss 46656 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑅)
7 smfsssmf.i . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
87unissd 4941 . . 3 (𝜑 𝑅 𝑆)
96, 8sstrd 4019 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
103, 4, 5smff 46655 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11 ssrest 23207 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
122, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
143adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
154adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
1714, 15, 5, 16smfpreimalt 46654 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅t dom 𝐹))
1813, 17sseldd 4009 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
191, 2, 9, 10, 18issmfd 46658 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  {crab 3443  wss 3976   cuni 4931   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  cfv 6575  (class class class)co 7450  cr 11185   < clt 11326  t crest 17482  SAlgcsalg 46231  SMblFncsmblfn 46618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-er 8765  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-ioo 13413  df-ico 13415  df-rest 17484  df-smblfn 46619
This theorem is referenced by:  bormflebmf  46676
  Copyright terms: Public domain W3C validator