Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsssmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsssmf 46160
Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsssmf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
smfsssmf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
smfsssmf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))

Proof of Theorem smfsssmf
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfsssmf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsssmf.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
4 smfsssmf.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
5 eqid 2728 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
63, 4, 5smfdmss 46150 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑅)
7 smfsssmf.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
87unissd 4922 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑆)
96, 8sstrd 3992 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
103, 4, 5smff 46149 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
11 ssrest 23100 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
122, 7, 11syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
143adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
154adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
16 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
1714, 15, 5, 16smfpreimalt 46148 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹))
1813, 17sseldd 3983 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
191, 2, 9, 10, 18issmfd 46152 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145   < clt 11286   β†Ύt crest 17409  SAlgcsalg 45725  SMblFncsmblfn 46112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-rest 17411  df-smblfn 46113
This theorem is referenced by:  bormflebmf  46170
  Copyright terms: Public domain W3C validator