Theorem smfsssmf 47958

Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsssmf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
smfsssmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
smfsssmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsssmf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsssmf.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
4		smfsssmf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
6	3, 4, 5	smfdmss 47948	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑅)
7		smfsssmf.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
8	7	unissd 4880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑅 ⊆ ∪ 𝑆)
9	6, 8	sstrd 3923	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
10	3, 4, 5	smff 47947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11		ssrest 23524	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 ⊆ 𝑆) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
12	2, 7, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
14	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
15	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
17	14, 15, 5, 16	smfpreimalt 47946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅 ↾t dom 𝐹))
18	13, 17	sseldd 3914	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	1, 2, 9, 10, 18	issmfd 47950	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   < clt 11370   ↾_t crest 17620  SAlgcsalg 47523  SMblFncsmblfn 47910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-rest 17622  df-smblfn 47911

This theorem is used by:  bormflebmf  47968