Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsssmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsssmf 46054
Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsssmf.r (𝜑𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i (𝜑𝑅𝑆)
smfsssmf.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
smfsssmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1910 . 2 𝑎𝜑
2 smfsssmf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsssmf.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SAlg)
4 smfsssmf.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5 eqid 2727 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
63, 4, 5smfdmss 46044 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑅)
7 smfsssmf.i . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
87unissd 4913 . . 3 (𝜑 𝑅 𝑆)
96, 8sstrd 3988 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
103, 4, 5smff 46043 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11 ssrest 23067 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
122, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
143adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
154adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
1714, 15, 5, 16smfpreimalt 46042 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅t dom 𝐹))
1813, 17sseldd 3979 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
191, 2, 9, 10, 18issmfd 46046 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  {crab 3427  wss 3944   cuni 4903   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129   < clt 11270  t crest 17393  SAlgcsalg 45619  SMblFncsmblfn 46006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-rest 17395  df-smblfn 46007
This theorem is referenced by:  bormflebmf  46064
  Copyright terms: Public domain W3C validator