Theorem smfsssmf 47308

Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsssmf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
smfsssmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
smfsssmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1935	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsssmf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsssmf.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
4		smfsssmf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
6	3, 4, 5	smfdmss 47298	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑅)
7		smfsssmf.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
8	7	unissd 4876	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑅 ⊆ ∪ 𝑆)
9	6, 8	sstrd 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
10	3, 4, 5	smff 47297	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11		ssrest 23243	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 ⊆ 𝑆) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
12	2, 7, 11	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
14	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
15	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
17	14, 15, 5, 16	smfpreimalt 47296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅 ↾t dom 𝐹))
18	13, 17	sseldd 3938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	1, 2, 9, 10, 18	issmfd 47300	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143  {crab 3415   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11083   < clt 11227   ↾_t crest 17459  SAlgcsalg 46873  SMblFncsmblfn 47260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-rest 17461  df-smblfn 47261

This theorem is referenced by:  bormflebmf  47318