Theorem smfsssmf 42486

Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsssmf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
smfsssmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
smfsssmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1874	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsssmf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsssmf.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
4		smfsssmf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5		eqid 2780	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
6	3, 4, 5	smfdmss 42476	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑅)
7		smfsssmf.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
8	7	unissd 4741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑅 ⊆ ∪ 𝑆)
9	6, 8	sstrd 3870	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
10	3, 4, 5	smff 42475	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11		ssrest 21503	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 ⊆ 𝑆) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
12	2, 7, 11	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
14	3	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
15	4	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
17	14, 15, 5, 16	smfpreimalt 42474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅 ↾t dom 𝐹))
18	13, 17	sseldd 3861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	1, 2, 9, 10, 18	issmfd 42478	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051  {crab 3094   ⊆ wss 3831  ∪ cuni 4717   class class class wbr 4934  dom cdm 5411  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  ℝcr 10340   < clt 10480   ↾_t crest 16556  SAlgcsalg 42059  SMblFncsmblfn 42443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-id 5316  df-po 5330  df-so 5331  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-er 8095  df-pm 8215  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-rest 16558  df-smblfn 42444

This theorem is referenced by:  bormflebmf  42496