Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsssmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsssmf 46598
Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsssmf.r (𝜑𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i (𝜑𝑅𝑆)
smfsssmf.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
smfsssmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1913 . 2 𝑎𝜑
2 smfsssmf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsssmf.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SAlg)
4 smfsssmf.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5 eqid 2734 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
63, 4, 5smfdmss 46588 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑅)
7 smfsssmf.i . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
87unissd 4941 . . 3 (𝜑 𝑅 𝑆)
96, 8sstrd 4013 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
103, 4, 5smff 46587 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11 ssrest 23198 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
122, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
143adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
154adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
1714, 15, 5, 16smfpreimalt 46586 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅t dom 𝐹))
1813, 17sseldd 4003 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
191, 2, 9, 10, 18issmfd 46590 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2103  {crab 3438  wss 3970   cuni 4931   class class class wbr 5169  dom cdm 5699  cfv 6572  (class class class)co 7445  cr 11179   < clt 11320  t crest 17475  SAlgcsalg 46163  SMblFncsmblfn 46550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-er 8759  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-rest 17477  df-smblfn 46551
This theorem is referenced by:  bormflebmf  46608
  Copyright terms: Public domain W3C validator