Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsssmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsssmf 46013
Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsssmf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
smfsssmf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
smfsssmf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))

Proof of Theorem smfsssmf
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfsssmf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsssmf.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
4 smfsssmf.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
5 eqid 2726 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
63, 4, 5smfdmss 46003 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑅)
7 smfsssmf.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
87unissd 4912 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑆)
96, 8sstrd 3987 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
103, 4, 5smff 46002 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
11 ssrest 23030 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
122, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
143adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
154adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
16 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
1714, 15, 5, 16smfpreimalt 46001 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹))
1813, 17sseldd 3978 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
191, 2, 9, 10, 18issmfd 46005 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108   < clt 11249   β†Ύt crest 17372  SAlgcsalg 45578  SMblFncsmblfn 45965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-rest 17374  df-smblfn 45966
This theorem is referenced by:  bormflebmf  46023
  Copyright terms: Public domain W3C validator