Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsssmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsssmf 45070
Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsssmf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
smfsssmf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
smfsssmf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))

Proof of Theorem smfsssmf
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfsssmf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsssmf.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
4 smfsssmf.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
5 eqid 2733 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
63, 4, 5smfdmss 45060 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑅)
7 smfsssmf.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
87unissd 4876 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑆)
96, 8sstrd 3955 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
103, 4, 5smff 45059 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
11 ssrest 22543 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
122, 7, 11syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
143adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑅 ∈ SAlg)
154adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘…))
16 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
1714, 15, 5, 16smfpreimalt 45058 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑅 β†Ύt dom 𝐹))
1813, 17sseldd 3946 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
191, 2, 9, 10, 18issmfd 45062 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  {crab 3406   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055   < clt 11194   β†Ύt crest 17307  SAlgcsalg 44635  SMblFncsmblfn 45022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-rest 17309  df-smblfn 45023
This theorem is referenced by:  bormflebmf  45080
  Copyright terms: Public domain W3C validator