Theorem smfsssmf 47558

Description: If a function is measurable w.r.t. to a sigma-algebra, then it is measurable w.r.t. to a larger sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsssmf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
smfsssmf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsssmf.i	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
smfsssmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
smfsssmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfsssmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsssmf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsssmf.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SAlg)
4		smfsssmf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
6	3, 4, 5	smfdmss 47548	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑅)
7		smfsssmf.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑆)
8	7	unissd 4880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑅 ⊆ ∪ 𝑆)
9	6, 8	sstrd 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
10	3, 4, 5	smff 47547	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
11		ssrest 23402	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑅 ⊆ 𝑆) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
12	2, 7, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑅 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
14	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ SAlg)
15	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑅))
16		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
17	14, 15, 5, 16	smfpreimalt 47546	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑅 ↾t dom 𝐹))
18	13, 17	sseldd 3935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	1, 2, 9, 10, 18	issmfd 47550	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   < clt 11270   ↾_t crest 17509  SAlgcsalg 47123  SMblFncsmblfn 47510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-rest 17511  df-smblfn 47511

This theorem is used by:  bormflebmf  47568