MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopnb 23198
Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopnb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1195 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
2 simpr2 1194 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐵𝐴)
31, 2sstrd 4005 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐴)
4 dfss2 3980 . . . . . 6 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶𝐴) = 𝐶)
53, 4sylib 218 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐴) = 𝐶)
65eqcomd 2740 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶 = (𝐶𝐴))
7 ineq1 4220 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐶 → (𝑣𝐴) = (𝐶𝐴))
87rspceeqv 3644 . . . . 5 ((𝐶𝐽𝐶 = (𝐶𝐴)) → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴))
98expcom 413 . . . 4 (𝐶 = (𝐶𝐴) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
106, 9syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
11 inass 4235 . . . . . 6 ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴𝐵))
12 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐴))
1312ineq1d 4226 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵))
14 simplr3 1216 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐶𝐵)
15 dfss2 3980 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐶)
1614, 15sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1716adantrr 717 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1813, 17eqtr3d 2776 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
19 simplr2 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐵𝐴)
20 sseqin2 4230 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
2119, 20sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
2221ineq2d 4227 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2322adantrr 717 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2411, 18, 233eqtr3a 2798 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐵))
25 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
26 simprl 771 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝑣𝐽)
27 simplr1 1214 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐵𝐽)
28 inopn 22920 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝐵𝐽) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
3024, 29eqeltrd 2838 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶𝐽)
3130rexlimdvaa 3153 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴) → 𝐶𝐽))
3210, 31impbid 212 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
33 elrest 17473 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3433adantr 480 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3532, 34bitr4d 282 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-rest 17468  df-top 22915
This theorem is referenced by:  restopn2  23200  cxpcn3  26805  pnfneige0  33911  fourierdlem62  46123  fouriersw  46186  iooii  48713
  Copyright terms: Public domain W3C validator