MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopnb 23066
Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopnb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1194 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
2 simpr2 1193 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐵𝐴)
31, 2sstrd 3988 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐴)
4 df-ss 3961 . . . . . 6 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶𝐴) = 𝐶)
53, 4sylib 217 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐴) = 𝐶)
65eqcomd 2733 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶 = (𝐶𝐴))
7 ineq1 4201 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐶 → (𝑣𝐴) = (𝐶𝐴))
87rspceeqv 3629 . . . . 5 ((𝐶𝐽𝐶 = (𝐶𝐴)) → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴))
98expcom 413 . . . 4 (𝐶 = (𝐶𝐴) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
106, 9syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
11 inass 4215 . . . . . 6 ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴𝐵))
12 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐴))
1312ineq1d 4207 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵))
14 simplr3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐶𝐵)
15 df-ss 3961 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐶)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1716adantrr 716 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1813, 17eqtr3d 2769 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
19 simplr2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐵𝐴)
20 sseqin2 4211 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
2119, 20sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
2221ineq2d 4208 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2322adantrr 716 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2411, 18, 233eqtr3a 2791 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐵))
25 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
26 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝑣𝐽)
27 simplr1 1213 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐵𝐽)
28 inopn 22788 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝐵𝐽) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
3024, 29eqeltrd 2828 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶𝐽)
3130rexlimdvaa 3151 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴) → 𝐶𝐽))
3210, 31impbid 211 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
33 elrest 17400 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3433adantr 480 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3532, 34bitr4d 282 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  cin 3943  wss 3944  (class class class)co 7414  t crest 17393  Topctop 22782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rest 17395  df-top 22783
This theorem is referenced by:  restopn2  23068  cxpcn3  26670  pnfneige0  33488  fourierdlem62  45479  fouriersw  45542  iooii  47859
  Copyright terms: Public domain W3C validator