MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopnb 21357
Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopnb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1256 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
2 simpr2 1254 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐵𝐴)
31, 2sstrd 3837 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐴)
4 df-ss 3812 . . . . . 6 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶𝐴) = 𝐶)
53, 4sylib 210 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐴) = 𝐶)
65eqcomd 2831 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶 = (𝐶𝐴))
7 ineq1 4036 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐶 → (𝑣𝐴) = (𝐶𝐴))
87rspceeqv 3544 . . . . 5 ((𝐶𝐽𝐶 = (𝐶𝐴)) → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴))
98expcom 404 . . . 4 (𝐶 = (𝐶𝐴) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
106, 9syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
11 inass 4050 . . . . . 6 ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴𝐵))
12 simprr 789 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐴))
1312ineq1d 4042 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵))
14 simplr3 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐶𝐵)
15 df-ss 3812 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐶)
1614, 15sylib 210 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1716adantrr 708 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1813, 17eqtr3d 2863 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
19 simplr2 1281 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐵𝐴)
20 sseqin2 4046 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
2119, 20sylib 210 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
2221ineq2d 4043 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2322adantrr 708 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2411, 18, 233eqtr3a 2885 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐵))
25 simplll 791 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
26 simprl 787 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝑣𝐽)
27 simplr1 1279 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐵𝐽)
28 inopn 21081 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝐵𝐽) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1494 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
3024, 29eqeltrd 2906 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶𝐽)
3130rexlimdvaa 3241 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴) → 𝐶𝐽))
3210, 31impbid 204 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
33 elrest 16448 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3433adantr 474 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3532, 34bitr4d 274 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wrex 3118  cin 3797  wss 3798  (class class class)co 6910  t crest 16441  Topctop 21075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-rest 16443  df-top 21076
This theorem is referenced by:  restopn2  21359  cxpcn3  24898  pnfneige0  30538  fourierdlem62  41173  fouriersw  41236
  Copyright terms: Public domain W3C validator