Theorem restopn2 23528

Description: If 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4902	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		elssuni 4902	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	restuni 23513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
5	2, 4	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	5	sseq2d 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	1, 6	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
8	7	pm4.71rd 572	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
9		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
11		ssidd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13		restopnb 23526	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1405	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
15	14	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
16	8, 15	bitr4d 285	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽)))
17	16	biancomd 469	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  (class class class)co 7446   ↾_t crest 17623  Topctop 23244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-en 9005  df-fin 9008  df-fi 9433  df-rest 17625  df-topgen 17646  df-top 23245  df-topon 23262  df-bases 23297

This theorem is used by:  restdis  23529  perfopn  23536  llyrest  23837  nllyrest  23838  llyidm  23840  nllyidm  23841  lly1stc  23848  qtoprest  24069  xrtgioo  25159  lhop  26369  efopnlem2  27018  cvmopnlem  36223  cvmlift2lem9a  36248  cvmlift2lem9  36256  cvmlift3lem6  36269  restopn3  46381  restopnssd  46382  iscnrm3rlem6  50274