Theorem restopn2 23142

Description: If 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4881	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		elssuni 4881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	restuni 23127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
5	2, 4	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	5	sseq2d 3954	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	1, 6	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
8	7	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
9		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
11		ssidd 3945	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13		restopnb 23140	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1380	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
15	14	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
16	8, 15	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽)))
17	16	biancomd 463	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383  Topctop 22858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-en 8894  df-fin 8897  df-fi 9324  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911

This theorem is referenced by:  restdis  23143  perfopn  23150  llyrest  23450  nllyrest  23451  llyidm  23453  nllyidm  23454  lly1stc  23461  qtoprest  23682  xrtgioo  24772  lhop  25983  efopnlem2  26621  cvmopnlem  35460  cvmlift2lem9a  35485  cvmlift2lem9  35493  cvmlift3lem6  35506  restopn3  45581  restopnssd  45582  iscnrm3rlem6  49420