MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopn2 21773
Description: If 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 4851 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵 (𝐽t 𝐴))
2 elssuni 4851 . . . . . . 7 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
3 eqid 2824 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
43restuni 21758 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
52, 4sylan2 595 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
65sseq2d 3983 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 (𝐽t 𝐴)))
71, 6syl5ibr 249 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵𝐴))
87pm4.71rd 566 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
9 simpll 766 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 simplr 768 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐽)
11 ssidd 3974 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐴)
12 simpr 488 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
13 restopnb 21771 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝐴𝐽𝐴𝐴𝐵𝐴)) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
149, 10, 10, 11, 12, 13syl23anc 1374 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
1514pm5.32da 582 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → ((𝐵𝐴𝐵𝐽) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
168, 15bitr4d 285 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵𝐽)))
1716biancomd 467 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3918   cuni 4821  (class class class)co 7140  t crest 16685  Topctop 21489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-fin 8498  df-fi 8861  df-rest 16687  df-topgen 16708  df-top 21490  df-topon 21507  df-bases 21542
This theorem is referenced by:  restdis  21774  perfopn  21781  llyrest  22081  nllyrest  22082  llyidm  22084  nllyidm  22085  lly1stc  22092  qtoprest  22313  xrtgioo  23402  lhop  24610  efopnlem2  25239  cvmopnlem  32545  cvmlift2lem9a  32570  cvmlift2lem9  32578  cvmlift3lem6  32591
  Copyright terms: Public domain W3C validator