MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopn2 23200
Description: If 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 4941 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵 (𝐽t 𝐴))
2 elssuni 4941 . . . . . . 7 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
3 eqid 2734 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
43restuni 23185 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
52, 4sylan2 593 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
65sseq2d 4027 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 (𝐽t 𝐴)))
71, 6imbitrrid 246 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵𝐴))
87pm4.71rd 562 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
9 simpll 767 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 simplr 769 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐽)
11 ssidd 4018 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐴)
12 simpr 484 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
13 restopnb 23198 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝐴𝐽𝐴𝐴𝐵𝐴)) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
149, 10, 10, 11, 12, 13syl23anc 1376 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
1514pm5.32da 579 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → ((𝐵𝐴𝐵𝐽) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
168, 15bitr4d 282 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵𝐽)))
1716biancomd 463 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962   cuni 4911  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  restdis  23201  perfopn  23208  llyrest  23508  nllyrest  23509  llyidm  23511  nllyidm  23512  lly1stc  23519  qtoprest  23740  xrtgioo  24841  lhop  26069  efopnlem2  26713  cvmopnlem  35262  cvmlift2lem9a  35287  cvmlift2lem9  35295  cvmlift3lem6  35308  restopn3  45093  restopnssd  45094  iscnrm3rlem6  48741
  Copyright terms: Public domain W3C validator