Theorem restopn2 23408

Description: If 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4902	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		elssuni 4902	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	restuni 23393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
5	2, 4	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	5	sseq2d 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	1, 6	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
8	7	pm4.71rd 572	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
9		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
11		ssidd 3957	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13		restopnb 23406	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1404	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
15	14	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
16	8, 15	bitr4d 285	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽)))
17	16	biancomd 469	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870  (class class class)co 7417   ↾_t crest 17511  Topctop 23124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-en 8957  df-fin 8960  df-fi 9385  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177

This theorem is used by:  restdis  23409  perfopn  23416  llyrest  23717  nllyrest  23718  llyidm  23720  nllyidm  23721  lly1stc  23728  qtoprest  23949  xrtgioo  25039  lhop  26250  efopnlem2  26902  cvmopnlem  35865  cvmlift2lem9a  35890  cvmlift2lem9  35898  cvmlift3lem6  35911  restopn3  45991  restopnssd  45992  iscnrm3rlem6  49879