Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegxrf 24654
 Description: Functionality of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegxrf 𝐷:𝐵⟶ℝ*

Proof of Theorem mdegxrf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12526 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 8919 . . 3 sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ V
3 mdegxrcl.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4 mdegxrcl.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mdegxrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 eqid 2819 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2819 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
8 eqid 2819 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegfval 24648 . . 3 𝐷 = (𝑧𝐵 ↦ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
102, 9fnmpti 6484 . 2 𝐷 Fn 𝐵
113, 4, 5mdegxrcl 24653 . . 3 (𝑓𝐵 → (𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
1211rgen 3146 . 2 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ∈ ℝ*
13 ffnfv 6875 . 2 (𝐷:𝐵⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ∈ ℝ*))
1410, 12, 13mpbir2an 709 1 𝐷:𝐵⟶ℝ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  {crab 3140   ↦ cmpt 5137  ◡ccnv 5547   “ cima 5551   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   supp csupp 7822   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501  supcsup 8896  ℝ*cxr 10666   < clt 10667  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706   mPoly cmpl 20125  ℂfldccnfld 20537   mDeg cmdg 24639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-psr 20128  df-mpl 20130  df-cnfld 20538  df-mdeg 24641 This theorem is referenced by:  deg1xrf  24667
 Copyright terms: Public domain W3C validator