Theorem mdegxrf 26401

Description: Functionality of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegxrf	⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*

Proof of Theorem mdegxrf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13283	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	supex 9469	. . 3 ⊢ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ V
3		mdegxrcl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegxrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegxrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegfval 26395	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
10	2, 9	fnmpti 6693	. 2 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
11	3, 4, 5	mdegxrcl 26400	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*)
12	11	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*
13		ffnfv 7130	. 2 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*))
14	10, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  {crab 3416   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   supp csupp 8190   ↑_m cmap 8861  Fincfn 8987  supcsup 9445  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356  ℕcn 12348  ℕ₀cn0 12619  Basecbs 17402  0_gc0g 17625   Σ_g cgsu 17626  ℂ_fldccnfld 21693   mPoly cmpl 22229   mDeg cmdg 26386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-cnfld 21694  df-psr 22232  df-mpl 22234  df-mdeg 26388

This theorem is used by:  deg1xrf  26414