Theorem mdegxrf 26387

Description: Functionality of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegxrf	⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*

Proof of Theorem mdegxrf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13271	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	supex 9457	. . 3 ⊢ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ V
3		mdegxrcl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegxrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegxrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegfval 26381	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
10	2, 9	fnmpti 6683	. 2 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
11	3, 4, 5	mdegxrcl 26386	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*)
12	11	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*
13		ffnfv 7120	. 2 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*))
14	10, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   supp csupp 8178   ↑_m cmap 8848  Fincfn 8974  supcsup 9433  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  Basecbs 17388  0_gc0g 17611   Σ_g cgsu 17612  ℂ_fldccnfld 21679   mPoly cmpl 22215   mDeg cmdg 26372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-cnfld 21680  df-psr 22218  df-mpl 22220  df-mdeg 26374

This theorem is used by:  deg1xrf  26400