Theorem mdegxrf 26095

Description: Functionality of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegxrf	⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*

Proof of Theorem mdegxrf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13174	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	supex 9506	. . 3 ⊢ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ V
3		mdegxrcl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegxrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegxrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegfval 26089	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
10	2, 9	fnmpti 6704	. 2 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
11	3, 4, 5	mdegxrcl 26094	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*)
12	11	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*
13		ffnfv 7133	. 2 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷‘𝑓) ∈ ℝ*))
14	10, 12, 13	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {crab 3419   ↦ cmpt 5236  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685   Fn wfn 6549  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   supp csupp 8174   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8974  supcsup 9483  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213  0_gc0g 17454   Σ_g cgsu 17455  ℂ_fldccnfld 21343   mPoly cmpl 21903   mDeg cmdg 26077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-cnfld 21344  df-psr 21906  df-mpl 21908  df-mdeg 26079

This theorem is referenced by:  deg1xrf  26108