MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval 17352
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
3 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 fnex 7163 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 fndm 6602 . . . 4 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
93, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsdsval.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsds 17338 . 2 (𝜑𝐷 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
12 fveq1 6838 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6838 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1412, 13oveqan12d 7372 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1514adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1615mpteq2dv 5205 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1716rneqd 5891 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1817uneq1d 4120 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
1918supeq1d 9378 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
20 prdsplusgval.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
21 prdsplusgval.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
22 xrltso 13052 . . . 4 < Or ℝ*
2322supex 9395 . . 3 sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V)
2511, 19, 20, 21, 24ovmpod 7503 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cun 3906  {csn 4584  cmpt 5186  dom cdm 5631  ran crn 5632   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7353  supcsup 9372  0cc0 11047  *cxr 11184   < clt 11185  Basecbs 17075  distcds 17134  Xscprds 17319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-prds 17321
This theorem is referenced by:  prdsdsval2  17358  xpsdsval  23718
  Copyright terms: Public domain W3C validator