MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval 16751
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
3 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 fnex 6971 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 fndm 6443 . . . 4 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
93, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsdsval.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsds 16737 . 2 (𝜑𝐷 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
12 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1412, 13oveqan12d 7168 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1514adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1615mpteq2dv 5148 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1716rneqd 5795 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1817uneq1d 4124 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
1918supeq1d 8907 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
20 prdsplusgval.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
21 prdsplusgval.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
22 xrltso 12531 . . . 4 < Or ℝ*
2322supex 8924 . . 3 sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V)
2511, 19, 20, 21, 24ovmpod 7295 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cun 3917  {csn 4550  cmpt 5132  dom cdm 5542  ran crn 5543   Fn wfn 6338  cfv 6343  (class class class)co 7149  supcsup 8901  0cc0 10535  *cxr 10672   < clt 10673  Basecbs 16483  distcds 16574  Xscprds 16719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-prds 16721
This theorem is referenced by:  prdsdsval2  16757  xpsdsval  22991
  Copyright terms: Public domain W3C validator