MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval 17525
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
3 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 fnex 7237 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 fndm 6672 . . . 4 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
93, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsdsval.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsds 17511 . 2 (𝜑𝐷 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
12 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1412, 13oveqan12d 7450 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1514adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1615mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1716rneqd 5952 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1817uneq1d 4177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
1918supeq1d 9484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
20 prdsplusgval.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
21 prdsplusgval.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
22 xrltso 13180 . . . 4 < Or ℝ*
2322supex 9501 . . 3 sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V)
2511, 19, 20, 21, 24ovmpod 7585 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  Basecbs 17245  distcds 17307  Xscprds 17492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494
This theorem is referenced by:  prdsdsval2  17531  xpsdsval  24407
  Copyright terms: Public domain W3C validator